Achar a transformada de Laplace das funções periódicas a seguir.
f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 0, & \text { se } 1 \leq t<2 \\\\ -1, & \text { se } 2 \leq t<3 \\\ f(t+3)=f(t)\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função periódica f\) de período \(T=3\), definida em cada período por \[f(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t<1,\\\\ 0, & 1\le t<2,\\\\ -1,& 2\le t<3, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace (F(s)=\mathcal{L}{f}(s)]. Vamos usar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
F(s) =\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Calcular o integral sobre um período 0\le t<3. Como f=1 em [0,1), f=0 em [1,2) e f=-1 em [2,3), temos
\int_{0}^{3}e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt +\int_{1}^{2}e^{-st}\cdot 0\,dt +\int_{2}^{3}e^{-st}(-1)\,dt.

Passo 3

Calcular cada integral:
\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =\frac{1-e^{-s}}{s},
\int_{2}^{3}(-1)e^{-st}\,dt =-\int_{2}^{3}e^{-st}\,dt =-\frac{e^{-2s}-e^{-3s}}{s} =\frac{e^{-3s}-e^{-2s}}{s}.

Passo 4

Somando os resultados:
\int_{0}^{3}e^{-st}f(t)\,dt =\frac{1-e^{-s}}{s}+\frac{e^{-3s}-e^{-2s}}{s} =\frac{1 - e^{-s} - e^{-2s} + e^{-3s}}{s} =\frac{(1-e^{-s})(1-e^{-2s})}{s}.

Passo 5

Aplicando a fórmula periódica com T=3:
F(s) =\frac{1}{1-e^{-3s}}\;\frac{(1-e^{-s})(1-e^{-2s})}{s} =\frac{1}{s}\,\frac{(1-e^{-s})(1-e^{-2s})}{1-e^{-3s}}.

Passo 6

Opcionalmente, simplificamos usando 1-e^{-3s}=(1-e^{-s})(1+e^{-s}+e^{-2s}), cancelando 1-e^{-s}:
F(s) =\frac{1}{s}\,\frac{1-e^{-2s}}{1+e^{-s}+e^{-2s}}.

Resposta

F(s) =\frac{1}{s}\,\frac{(1-e^{-s})(1-e^{-2s})}{1-e^{-3s}} \quad\text{ou}\quad F(s) =\frac{1}{s}\,\frac{1-e^{-2s}}{1+e^{-s}+e^{-2s}}.

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