Represente cada uma das funções a seguir com o auxílio da função degrau unitário, determinando sua transformada de Laplace em seguida.
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } t<2 \\\ (t-2)^{2}, & \text { se } t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\\ (t-2)^{2},&t\ge2, \end{cases}
e pede (i) sua representação usando o degrau unitário e (ii) sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de u(t-a) e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

A função degrau unitário u(t-2) vale 0 para t<2 e 1 para t\ge2. Logo, podemos escrever
f(t)=(t-2)^{2}\,u(t-2).

Passo 3

Pelo teorema de deslocamento no tempo, se g(t)=\tau^2 e definimos f(t)=g(t-2)\,u(t-2), então
\mathcal{L}\{f(t)\} =e^{-2s}\,\mathcal{L}\{g(t)\} =e^{-2s}\,\mathcal{L}\{\tau^2\}.

Passo 4

Sabendo que
\mathcal{L}\{\tau^2\} =\int_{0}^{\infty}\tau^2e^{-s\tau}\,d\tau =\frac{2}{s^3}
(pois \displaystyle\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}dt=\frac{n!}{s^{n+1}}), concluímos
\mathcal{L}\{f(t)\} =e^{-2s}\,\frac{2}{s^3}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2\,e^{-2s}}{s^3}.

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