Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o valor de
que faz com que a soma da série infinita
seja igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como calcular a soma delas.
Passo 2
Vamos identificar se a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica é da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos. No nosso caso, a série é
.
Observando isso, podemos reescrever a série começando do
para facilitar:
Aqui, o primeiro termo
e a razão
. Portanto, nossa série é realmente uma série geométrica com razão
.
Passo 3
Para que uma série geométrica infinita
converja (ou seja, tenha uma soma finita), a razão
deve satisfazer
. Neste caso, isso significa que precisamos ter:
Assumindo que
está dentro desse intervalo, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o 2:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:
Resposta
O valor de
que satisfaz a igualdade é
.