Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita. sumk=1^infty(2 c)^k-1=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como calcular a soma delas.

Passo 2

Vamos identificar se a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica é da forma sumk=0^infty(2c)^k , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. No nosso caso, a série é .
Observando isso, podemos reescrever a série começando do para facilitar:
Aqui, o primeiro termo e a razão . Portanto, nossa série é realmente uma série geométrica com razão .

Passo 3

Para que uma série geométrica infinita |2c| < 1 Rightarrow |c| < 12 converja (ou seja, tenha uma soma finita), a razão S = a1 - r deve satisfazer 2 = 11 - 2c . Neste caso, isso significa que precisamos ter:
Assumindo que está dentro desse intervalo, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de 2 = 11 - 2c :
2(1 - 2c) = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 - 4c = 1 :
-4c = -1
Distribuindo o 2:
c = 14
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade é .

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