Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral e^x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Essa questão envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula da integração por partes e aplicar algumas manobras matemáticas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, a gente escolhe quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, a gente escolhe como algo que fica mais simples quando derivado e como algo que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa integral u = e^x Rightarrow du = e^x , dx . Vamos escolher:
dv = cos x , dx Rightarrow v = integral cos x , dx = sin x

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da integração por partes:
I = uv - integral v , du = e^x sin x - integral e^x sin x , dx
Então, temos:
I = e^x sin x - integral e^x sin x , dx

Passo 5

Mas olha só, a gente ficou com outra integral J = integral e^x sin x , dx . Vamos chamar essa nova integral de :
Vamos aplicar novamente a integração por partes em .

Passo 6

Para o u = e^x Rightarrow du = e^x , dx , escolhemos:
dv = sin x , dx Rightarrow v = integral sin x , dx = -cos x

Passo 7

Substituímos na fórmula da integração por partes:
J = uv - integral v , du = -e^x cos x - integral -cos x , e^x , dx
J = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx
Observa que J = -e^x cos x + I é exatamente a nossa integral original . Então:

Passo 8

Agora, vamos voltar ao que tínhamos no Passo 4:
I = e^x sin x - J
Substituindo I = e^x sin x - (-e^x cos x + I) pelo que encontramos no Passo 7:
I = e^x sin x + e^x cos x - I

Passo 9

Vamos resolver para I + I = e^x sin x + e^x cos x . Somamos 2I = e^x (sin x + cos x) dos dois lados:
I = e^x (sin x + cos x)2
Agora, isolamos :

Resposta

A integral é igual a:
I = e^x (sin x + cos x)2 + C
Onde é a constante de integração.

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