Calcule as integrais indicadas por partes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Essa questão envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula da integração por partes e aplicar algumas manobras matemáticas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a integração por partes. A fórmula é:
Nessa fórmula, a gente escolhe quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, a gente escolhe
como algo que fica mais simples quando derivado e
como algo que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa integral
. Vamos escolher:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da integração por partes:
Então, temos:
Passo 5
Mas olha só, a gente ficou com outra integral
. Vamos chamar essa nova integral de
:
Vamos aplicar novamente a integração por partes em
.
Passo 6
Para o
, escolhemos:
Passo 7
Substituímos na fórmula da integração por partes:
Observa que
é exatamente a nossa integral original
. Então:
Passo 8
Agora, vamos voltar ao que tínhamos no Passo 4:
Substituindo
pelo que encontramos no Passo 7:
Passo 9
Vamos resolver para
. Somamos
dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
A integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.