Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sequências geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar melhor os termos. Vamos reescrever :
Aqui, noticei que .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série inteira utilizando essa simplificação:
Passo 4
Para facilitar, vamos mudar o índice da soma. Vamos fazer . Quando , , e quando , . Assim, a série fica:
Passo 5
Agora, temos uma série geométrica da forma:
onde a razão .
Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .
Passo 6
Calculando o valor absoluto da razão:
Portanto, a série converge.
Passo 7
Como a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica infinita utilizando a fórmula: