Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty (-4)^n-2 5^4-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sequências geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar melhor os termos. Vamos reescrever (-4)^n-2 times 5^4-n = (-45)^n-2 times 5^4-2 = (-45)^n-2 times 5^2 :
Aqui, noticei que .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série inteira utilizando essa simplificação:
sumn=2^infty (-4)^n-2 5^4-n = 5^2 sumn=2^infty (-45)^n-2
= 25 sumn=2^infty (-45)^n-2

Passo 4

Para facilitar, vamos mudar o índice da soma. Vamos fazer 25 sumk=0^infty (-45)^k . Quando , , e quando , . Assim, a série fica:

Passo 5

Agora, temos uma série geométrica da forma:
sumk=0^infty r^k
onde a razão .
Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 6

Calculando o valor absoluto da razão:
| -45 | = 45 < 1
Portanto, a série converge.

Passo 7

Como a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica infinita utilizando a fórmula:
sumk=0^infty r^k = 11 - r
Substituindo sumk=0^infty (-45)^k = 11 - (-45) = 11 + 45 = 195 = 59 :

Passo 8

Agora, lembrando que multiplicamos a série original por 25:
25 times 59 = 1259

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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