Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace
é dada por:
Onde
é uma variável complexa. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função
definida por partes.
Passo 3
Como a função
tem duas partes diferentes, vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os intervalos onde a função é definida:
Assim, separamos a transformada em duas integrais que vamos resolver individualmente.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 5
Agora vamos calcular
:
E a segunda parte:
Passo 6
Juntando as duas partes da primeira integral:
Passo 7
Agora vamos resolver a segunda integral:
Essa é uma integral básica da exponencial:
Passo 8
Agora vamos somar as duas integrais que calculamos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
dada é: