Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t) = { t, 0 <= t < 1 1, 1 <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Onde é uma variável complexa. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função definida por partes.

Passo 3

Como a função tem duas partes diferentes, vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os intervalos onde a função é definida:
Assim, separamos a transformada em duas integrais que vamos resolver individualmente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Agora vamos calcular :
E a segunda parte:

Passo 6

Juntando as duas partes da primeira integral:

Passo 7

Agora vamos resolver a segunda integral:
Essa é uma integral básica da exponencial:

Passo 8

Agora vamos somar as duas integrais que calculamos:

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:

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