Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolve técnicas de substituição para simplificar expressões complicadas, especialmente aquelas que se assemelham a identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Observe que
pode ser reescrito como um quadrado completo. Para facilitar, fazemos a substituição
. Assim,
, o que simplifica a integral para:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado no denominador. A expressão
pode ser escrita como:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos fazer outra substituição para simplificar ainda mais. Deixemos
, então
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, para resolver essa integral, utilizamos a substituição trigonométrica. Observamos que
se assemelha à identidade
. Assim, fazemos:
Substituindo na integral:
Passo 6
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Sabemos que
e
. Então:
Portanto, a integral se simplifica para:
Passo 8
Integrando
, que sabemos que é igual a
. Assim:
Passo 9
Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembramos que
, então:
E como
:
Resposta
Portanto, a integral é: