Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral e^t d t(e^2 t+8 e^t+7)^3 / 2

Passo 1

Vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolve técnicas de substituição para simplificar expressões complicadas, especialmente aquelas que se assemelham a identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Observe que I = integral du(u^2 + 8u + 7)^3/2 pode ser reescrito como um quadrado completo. Para facilitar, fazemos a substituição . Assim, , o que simplifica a integral para:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado no denominador. A expressão u^2 + 8u + 16 - 9 = (u + 4)^2 - 9 pode ser escrita como:
I = integral du((u + 4)^2 - 9)^3/2
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer outra substituição para simplificar ainda mais. Deixemos I = integral dv(v^2 - 9)^3/2 , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, para resolver essa integral, utilizamos a substituição trigonométrica. Observamos que v = 3 sec theta Rightarrow dv = 3 sec theta tan theta , dtheta se assemelha à identidade I = integral 3 sec theta tan theta , dtheta(9 sec^2 theta - 9)^3/2 = integral 3 sec theta tan theta , dtheta(9 tan^2 theta)^3/2 . Assim, fazemos:
Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando o denominador:
(9 tan^2 theta)^3/2 = 9^3/2 tan^3 theta = 27 tan^3 theta
Então, a integral fica:
I = integral 3 sec theta tan theta27 tan^3 theta , dtheta = 19 integral sec thetatan^2 theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que sec thetatan^2 theta = 1/cos thetasin^2 theta / cos^2 theta = cos thetasin^2 theta e I = 19 integral cos thetasin^2 theta , dtheta = 19 integral cot theta csc theta , dtheta . Então:
Portanto, a integral se simplifica para:

Passo 8

Integrando I = 19 ( -csc theta ) + C = -19 csc theta + C , que sabemos que é igual a . Assim:

Passo 9

Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembramos que csc theta = raizv^2 - 9v = raiz(u + 4)^2 - 9u + 4 = raizu^2 + 8u + 7u + 4 , então:
csc theta = raize^2t + 8e^t + 7e^t + 4
E como :

Resposta

Portanto, a integral é:
I = -19 cdot raize^2t + 8e^t + 7e^t + 4 + C

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