Achar valor minimo de funsào y=(x^2-21 x+21) cdot e^21-x no intervalo [20,23].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor mínimo da função y = (x^2 - 21x + 21) cdot e^21 - x no intervalo de x que vai de 20 a 23. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas para encontrar pontos críticos onde a função pode ter mínimos ou máximos. Vamos precisar conhecer como derivar funções que são produtos de termos e usar isso para achar onde a função atinge seu menor valor nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função y . Isso porque os pontos onde a derivada é zero são potenciais candidatos para mínimos ou máximos. A função que temos é um produto de duas partes: (x^2 - 21x + 21) e e^21 - x . Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .

Passo 3

Vamos chamar:
u = x^2 - 21x + 21
v = e^21 - x
Agora, vamos derivar cada parte:
u' = 2x - 21
v' = -e^21 - x (porque a derivada de e^k em relação a x é e^k vezes a derivada de k )

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v' = (2x - 21)e^21 - x + (x^2 - 21x + 21)(-e^21 - x)
Podemos fatorar e^21 - x :
y' = e^21 - x [ (2x - 21) - (x^2 - 21x + 21) ]
Simplificando dentro dos colchetes:
(2x - 21) - x^2 + 21x - 21 = -x^2 + 23x - 42
Então:
y' = e^21 - x (-x^2 + 23x - 42)

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
e^21 - x (-x^2 + 23x - 42) = 0
Sabemos que e^21 - x nunca é zero, então:
-x^2 + 23x - 42 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1:
x^2 - 23x + 42 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 23 pm raiz23^2 - 4 cdot 1 cdot 422 cdot 1 = 23 pm raiz529 - 1682 = 23 pm raiz3612 = 23 pm 192
Então, as soluções são:
x = 23 + 192 = 422 = 21
x = 23 - 192 = 42 = 2

Passo 7

Agora, verificamos quais dessas soluções estão no intervalo [20, 23]. O valor x = 2 está fora, então só consideramos x = 21 .

Passo 8

Além disso, precisamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo, ou seja, em x = 20 e x = 23 , para garantir que encontramos o menor valor.
Vamos calcular y para x = 20 , x = 21 e x = 23 :
Para x = 20 :
y = (20^2 - 21 cdot 20 + 21) cdot e^21 - 20 = (400 - 420 + 21) cdot e^1 = (1) cdot e approx 2.718
Para x = 21 :
y = (21^2 - 21 cdot 21 + 21) cdot e^21 - 21 = (441 - 441 + 21) cdot e^0 = 21 cdot 1 = 21
Para x = 23 :
y = (23^2 - 21 cdot 23 + 21) cdot e^21 - 23 = (529 - 483 + 21) cdot e^-2 = 67 cdot e^-2 approx 67 cdot 0.1353 approx 9.072

Resposta

O valor mínimo da função no intervalo [20, 23] é aproximadamente 2.718, atingido em x = 20 .

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