Achar valor minimo de funsào
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor mínimo da função
no intervalo de
que vai de 20 a 23. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas para encontrar pontos críticos onde a função pode ter mínimos ou máximos. Vamos precisar conhecer como derivar funções que são produtos de termos e usar isso para achar onde a função atinge seu menor valor nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são potenciais candidatos para mínimos ou máximos. A função que temos é um produto de duas partes:
e
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos chamar:
Agora, vamos derivar cada parte:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora, verificamos quais dessas soluções estão no intervalo [20, 23]. O valor
está fora, então só consideramos
.
Passo 8
Além disso, precisamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo, ou seja, em
e
, para garantir que encontramos o menor valor.
Vamos calcular
para
,
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
O valor mínimo da função no intervalo [20, 23] é aproximadamente 2.718, atingido em
.