Determine as derivadas parciais indicadas.
u=e^r theta ; partial^3 upartial r^2 partial theta

Passo 1

O enunciado dá u(r,theta)=e^rtheta e pede
partial^3upartial r^2,partial theta
Isso envolve calcular primeiro a derivada parcial em relação a theta e depois duas vezes em relação a r, aplicando regra do produto e derivada de exponencial.

Passo 2

Calculemos a derivada de u em relação a theta:
partial upartial theta =partialpartial thetae^rtheta = r,e^rtheta

Passo 3

Agora derivamos partial u/partial theta uma vez em relação a r:
partialpartial rl(r,e^rthetar) =1cdot e^rtheta+rcdottheta,e^rtheta =(1+rtheta),e^rtheta

Passo 4

Derivamos mais uma vez em relação a r:
partialpartial rl((1+rtheta),e^rthetar) =theta,e^rtheta+(1+rtheta),theta,e^rtheta =(2theta+rtheta^2),e^rtheta

Resposta

partial^3upartial r^2,partial theta =(rtheta^2+2theta),e^rtheta

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