Calcular integrais:
integral0^4 d xraiz(5-4 x)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente está no assunto de Cálculo, mais especificamente em integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar. Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar u = 5 - 4x. Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de u.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = -4 dx implies dx = -du4

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração de x para u. Quando x = 0:
u = 5 - 4(0) = 5
E quando x = 4:
u = 5 - 4(4) = 5 - 16 = -11

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^4 dxraiz(5-4x)^3 = integral5^-11 -du4 raizu^3
Note que o limite inferior ficou 5 e o superior -11, mas podemos trocar os limites e eliminar o sinal negativo:
= 14 integral-11^5 duu^3/2

Passo 6

Vamos simplificar a integral agora:
14 integral-11^5 u^-3/2 du
A gente sabe que a integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Aqui, n = -32, então:
14 [ u^-3/2 + 1 -3/2 + 1 ]-11^5 = 14 [ u^-1/2 -1/2 ]-11^5

Passo 7

Simplificando ainda mais:
14 [ -2 u^-1/2 ]-11^5 = -12 [ 1raizu ]-11^5

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração:
-12 ( 1raiz5 - 1raiz-11 )
Aqui, temos um problema: raiz-11 não é um número real. Isso significa que a integral definida não existe dentro dos números reais, pois estamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Resposta

A integral não possui valor real, pois envolve a raiz quadrada de um número negativo no intervalo de integração.

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