Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver essa integral usando o método dos resíduos, que é uma ferramenta da matemática chamada Análise Complexa. A integral que temos é
. Vamos precisar entender sobre funções complexas, polos e resíduos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a função
tem polos (pontos onde a função “explode”) nos valores onde
, ou seja,
e
. Esses são polos de ordem 2, porque o denominador está elevado ao quadrado.
Passo 3
Para aplicar o método dos resíduos, vamos escolher uma curva no plano complexo que inclua os polos no semiplano superior. Normalmente, usamos um caminho que vai ao longo do eixo real de
a
e depois retorna por um arco de círculo no semiplano superior, e depois fazemos
.
Passo 4
Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao longo de toda essa curva é igual a
vezes a soma dos resíduos das funções dentro da curva. No nosso caso, apenas o polo em
está dentro do semiplano superior.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo de
em
. Como é um polo de segunda ordem, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Simplificando e derivando, encontramos o resíduo.
Passo 6
Depois de calcular o resíduo, aplicamos o teorema:
Como a parte imaginária se cancela, ficamos apenas com a parte real.
Resposta
A integral
é igual a
.