Calcule cada integral a seguir: resolva por residuos
integral-infty^infty d x(x^2+1)^2.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa integral usando o método dos resíduos, que é uma ferramenta da matemática chamada Análise Complexa. A integral que temos é integral-infty^infty dx(x^2 + 1)^2. Vamos precisar entender sobre funções complexas, polos e resíduos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função f(z) = 1(z^2 + 1)^2 tem polos (pontos onde a função “explode”) nos valores onde z^2 + 1 = 0, ou seja, z = i e z = -i. Esses são polos de ordem 2, porque o denominador está elevado ao quadrado.

Passo 3

Para aplicar o método dos resíduos, vamos escolher uma curva no plano complexo que inclua os polos no semiplano superior. Normalmente, usamos um caminho que vai ao longo do eixo real de -R a R e depois retorna por um arco de círculo no semiplano superior, e depois fazemos R to infty.

Passo 4

Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao longo de toda essa curva é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos das funções dentro da curva. No nosso caso, apenas o polo em z = i está dentro do semiplano superior.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de f(z) em z = i. Como é um polo de segunda ordem, usamos a fórmula:
Res(f, i) = limz to i ddz[(z - i)^2 f(z)]
Substituindo f(z):
Res(f, i) = limz to i ddz[(z - i)^2(z^2 + 1)^2]
Simplificando e derivando, encontramos o resíduo.

Passo 6

Depois de calcular o resíduo, aplicamos o teorema:
integral-infty^infty dx(x^2 + 1)^2 = 2pi i times Res(f, i)
Como a parte imaginária se cancela, ficamos apenas com a parte real.

Resposta

A integral integral-infty^infty dx(x^2 + 1)^2 é igual a pi2.

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