Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
f(z)=1(z-1)(z+i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de expansão de Laurent! O enunciado pede para encontrar a expansão de Laurent da função f(z) = 1(z - 1)(z + i) em torno de cada singularidade. Aqui, vamos usar conceitos de séries de Laurent e identificar as singularidades da função para encontrar as expansões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função f(z) . As singularidades acontecem onde o denominador é zero, ou seja:
(z - 1)(z + i) = 0
Resolvendo isso, temos duas singularidades:
z = 1 e z = -i
Então, precisamos encontrar a expansão de Laurent em torno de z = 1 e z = -i .

Passo 3

Vamos começar pela singularidade em z = 1 . Para isso, vamos reescrever f(z) de uma forma que facilite a expansão em torno de z = 1 . Podemos usar a técnica de frações parciais.
Primeiro, decompomos f(z) :
1(z - 1)(z + i) = Az - 1 + Bz + i
Multiplicando ambos os lados por (z - 1)(z + i) :
1 = A(z + i) + B(z - 1)
Agora, escolhemos valores de z para encontrar A e B :
Para z = 1 :
1 = A(1 + i) + B(0) Rightarrow A = 11 + i
Multiplicamos numerador e denominador por 1 - i :
A = 11 + i cdot 1 - i1 - i = 1 - i1 + i - i - i^2 = 1 - i2 = 12 - i2
Para z = -i :
1 = A(0) + B(-i - 1) Rightarrow B = -11 + i
Simplificando B :
B = -11 + i cdot 1 - i1 - i = -1 + i2 = -12 + i2
Então, a decomposição em frações parciais fica:
f(z) = ( 12 - i2 ) 1z - 1 + ( -12 + i2 ) 1z + i

Passo 4

Agora, queremos a expansão de Laurent em torno de z = 1 . Para isso, vamos considerar w = z - 1 , então z = 1 + w . Substituindo na função:
f(z) = ( 12 - i2 ) 1w + ( -12 + i2 ) 11 + w + i
Agora, vamos expandir o segundo termo em série de potências de w :
11 + i + w = 1(1 + i)(1 + w1 + i) = 11 + i sumn=0^infty ( -w1 + i )^n
Então, a expansão de Laurent em torno de z = 1 é:
f(z) = ( 12 - i2 ) 1w + ( -12 + i2 ) 11 + i sumn=0^infty ( -w1 + i )^n
Substituindo w = z - 1 , temos a série de Laurent completa em torno de z = 1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a expansão de Laurent em torno da outra singularidade, z = -i . Fazemos uma abordagem semelhante. Vamos definir w = z + i , então z = -i + w . Substituindo na função:
f(z) = ( 12 - i2 ) 1-i + w - 1 + ( -12 + i2 ) 1w
Simplificando o primeiro termo:
1-i - 1 + w = 1-(1 + i) + w = -11 + i - w = -11 + i cdot 11 - w1 + i = -11 + i sumn=0^infty ( w1 + i )^n
Então, a expansão de Laurent em torno de z = -i é:
f(z) = ( 12 - i2 ) ( -11 + i sumn=0^infty ( w1 + i )^n ) + ( -12 + i2 ) 1w
Substituindo w = z + i , temos a série de Laurent completa em torno de z = -i .

Resposta

A expansão de Laurent da função f(z) = 1(z - 1)(z + i) em torno de cada singularidade é:
  • Em torno de z = 1 :
f(z) = ( 12 - i2 ) 1z - 1 + ( -12 + i2 ) 11 + i sumn=0^infty ( -z - 11 + i )^n
  • Em torno de z = -i :
f(z) = ( -12 + i2 ) 1z + i + ( 12 - i2 ) ( -11 + i ) sumn=0^infty ( z + i1 + i )^n
Essas séries representam as expansões de Laurent da função em torno das singularidades z = 1 e z = -i , respectivamente.

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