Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de expansão de Laurent! O enunciado pede para encontrar a expansão de Laurent da função
em torno de cada singularidade. Aqui, vamos usar conceitos de séries de Laurent e identificar as singularidades da função para encontrar as expansões necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função
. As singularidades acontecem onde o denominador é zero, ou seja:
Resolvendo isso, temos duas singularidades:
Então, precisamos encontrar a expansão de Laurent em torno de
e
.
Passo 3
Vamos começar pela singularidade em
. Para isso, vamos reescrever
de uma forma que facilite a expansão em torno de
. Podemos usar a técnica de frações parciais.
Primeiro, decompomos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
para encontrar
e
:
Para
:
Multiplicamos numerador e denominador por
:
Para
:
Simplificando
:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, queremos a expansão de Laurent em torno de
. Para isso, vamos considerar
, então
. Substituindo na função:
Agora, vamos expandir o segundo termo em série de potências de
:
Então, a expansão de Laurent em torno de
é:
Substituindo
, temos a série de Laurent completa em torno de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a expansão de Laurent em torno da outra singularidade,
. Fazemos uma abordagem semelhante. Vamos definir
, então
. Substituindo na função:
Simplificando o primeiro termo:
Então, a expansão de Laurent em torno de
é:
Substituindo
, temos a série de Laurent completa em torno de
.
Resposta
A expansão de Laurent da função
em torno de cada singularidade é:
- Em torno de
:
- Em torno de
:
Essas séries representam as expansões de Laurent da função em torno das singularidades
e
, respectivamente.