Achar os valores extremos de
com as restrições indicadas:
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função a otimizar:
. - As restrições (duas equações):
-
. -
.
-
O que é pedido:
- Encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de
sujeitos às duas restrições, e os pontos onde esses extremos ocorrem.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma prática e sem drama): como as restrições são duas equações simples, uma opção direta e mais simples do que multiplicadores de Lagrange é resolver as restrições para eliminar variáveis e reduzir o problema. Essa abordagem costuma ser mais rápida em prova quando as relações permitem isolar uma variável facilmente.
Passo 3
Isolar
a partir da segunda restrição. Da equação
temos
Vou substituir essa expressão nas outras fórmulas.
Passo 4
Substituir
na primeira restrição. Da primeira restrição
obtemos, ao substituir
,
Isolando
,
Isto descreve os pontos
possíveis: para existir
real, é necessário que o lado direito seja não negativo:
Passo 5
Analisar a região viável em
. Resolver a inequação quadrática para determinar o intervalo de
que gera valores reais de
.
Escrevendo
como
As raízes da equação
são
Como a parábola
tem coeficiente positivo, a desigualdade
é satisfeita para
Passo 6
Expressar
usando a substituição
. Temos
Então
depende só de
: aumentar
aumenta
linearmente e reduzir
reduz
. Logo os extremos de
ocorrem quando
atinge seus extremos sobre a região viável.
Passo 7
Determinar os extremos possíveis de
. Da relação obtida em
Passo 8
Observação rápida sobre quadráticas:
é uma parábola concava para baixo (coeficiente de
é
), então seu máximo ocorre no vértice. A abscissa do vértice de
é
. Aqui
,
, logo
Calcular
:
Portanto o maior valor possível de
é
. Assim os possíveis extremos de
são
ocorrendo ambos quando
(pois foi onde
atingiu seu máximo).
Passo 9
Encontrar
correspondente e calcular
. Para
temos, pela segunda restrição,
Verificar a primeira restrição com os valores de
:
conforme esperado.
Calcular
:
Para referência, os pontos onde ocorrem:
- Máximo em
. - Mínimo em
.
Passo 10
Pequena checagem e comentário final (ânimo: já era!). Os pontos encontrados satisfazem ambas as restrições e não há outra possibilidade de extremos porque
se reduz a
e
está limitado pelo círculo/quadrática que exploramos; os valores na fronteira do intervalo onde
dão
, que fica entre os extremos encontrados.
Resposta
Máximo:
em
\n
Mínimo: em
Mínimo: