Achar os valores extremos de f com as restrições indicadas:
f(x, y, z)=x+y+z
x^{2}+y^{2}=z, \quad x+z=1.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função a otimizar: f(x,y,z)=x+y+z.
  • As restrições (duas equações):
    • x^{2}+y^{2}=z.
    • x+z=1.
O que é pedido:
  • Encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de f sujeitos às duas restrições, e os pontos (x,y,z) onde esses extremos ocorrem.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma prática e sem drama): como as restrições são duas equações simples, uma opção direta e mais simples do que multiplicadores de Lagrange é resolver as restrições para eliminar variáveis e reduzir o problema. Essa abordagem costuma ser mais rápida em prova quando as relações permitem isolar uma variável facilmente.

Passo 3

Isolar z a partir da segunda restrição. Da equação x+z=1 temos
z=1-x.
Vou substituir essa expressão nas outras fórmulas.

Passo 4

Substituir z na primeira restrição. Da primeira restrição x^{2}+y^{2}=z obtemos, ao substituir z,
x^{2}+y^{2}=1-x.
Isolando y^{2},
y^{2}=1-x-x^{2}.
Isto descreve os pontos (x,y) possíveis: para existir y real, é necessário que o lado direito seja não negativo:
1-x-x^{2}\ge 0.

Passo 5

Analisar a região viável em x. Resolver a inequação quadrática para determinar o intervalo de x que gera valores reais de y.
Escrevendo 1-x-x^{2}\ge0 como
-x^{2}-x+1\ge0 \quad\text{ou}\quad x^{2}+x-1\le0.
As raízes da equação x^{2}+x-1=0 são
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como a parábola x^{2}+x-1 tem coeficiente positivo, a desigualdade x^{2}+x-1\le0 é satisfeita para
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\le x\le\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Expressar f usando a substituição z=1-x. Temos
f(x,y,z)=x+y+z = x+y+(1-x)=1+y.
Então f depende só de y: aumentar y aumenta f linearmente e reduzir y reduz f. Logo os extremos de f ocorrem quando y atinge seus extremos sobre a região viável.

Passo 7

Determinar os extremos possíveis de y. Da relação obtida em

Passo 8

g(x)=1-x-x^{2}.
Observação rápida sobre quadráticas: g(x) é uma parábola concava para baixo (coeficiente de x^{2} é -1), então seu máximo ocorre no vértice. A abscissa do vértice de ax^{2}+bx+c é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=-1, b=-1, logo
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2(-1)}=-\frac{1}{2}.
Calcular g(x_v):
g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1-(-\tfrac{1}{2})-\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4}.
Portanto o maior valor possível de |y| é \sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}. Assim os possíveis extremos de y são
y_{\max}=\tfrac{\sqrt{5}}{2},\qquad y_{\min}=-\tfrac{\sqrt{5}}{2},
ocorrendo ambos quando x=-\tfrac{1}{2} (pois foi onde g atingiu seu máximo).

Passo 9

Encontrar z correspondente e calcular f. Para x=-\tfrac{1}{2} temos, pela segunda restrição,
z=1-x=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}.
Verificar a primeira restrição com os valores de y:
x^{2}+y^{2}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\pm\tfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{5}{4}=\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}=z,
conforme esperado.
Calcular f=1+y:
f_{\max}=1+\tfrac{\sqrt{5}}{2},\qquad f_{\min}=1-\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
Para referência, os pontos onde ocorrem:
  • Máximo em \left(x,y,z\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{5}}{2},\tfrac{3}{2}\right).
  • Mínimo em \left(x,y,z\right)=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{5}}{2},\tfrac{3}{2}\right).

Passo 10

Pequena checagem e comentário final (ânimo: já era!). Os pontos encontrados satisfazem ambas as restrições e não há outra possibilidade de extremos porque f se reduz a 1+y e y está limitado pelo círculo/quadrática que exploramos; os valores na fronteira do intervalo onde y=0 dão f=1, que fica entre os extremos encontrados.

Resposta

Máximo: f_{\max}=1+\dfrac{\sqrt{5}}{2} em \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{3}{2}\right)\n
Mínimo: f_{\min}=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2} em \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{3}{2}\right)

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