Resolva por duas vias: sem usar método de Lagrange e usando este,
Determine os pontos da superfície x^{2} y^{4} z=1 que estão mais próximos da origem.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por x^{2}y^{4}z=1 e pede: determinar os pontos dessa superfície que estão mais próximos da origem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem x^{2}y^{4}z=1.
Quer-se minimizar a distância da origem aos pontos da superfície, isto é, minimizar \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O que preciso obter: os pontos (x,y,z) da superfície que tornam essa distância mínima (pode ser útil trabalhar com o quadrado da distância para simplificar).
Passo 2
Preparação e ideia geral (por que minimizar o quadrado da distância).
É mais simples minimizar o quadrado da distância porque a raiz é função crescente positiva, então o ponto que minimiza
D=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
é o mesmo que minimiza
D^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Vou então minimizar a função objetivo
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sob a restrição
g(x,y,z)=x^{2}y^{4}z-1=0.
Primeira via: sem multiplicadores de Lagrange (vou usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema). Segunda via: aplicar o método de Lagrange diretamente. Vou começar pela via sem Lagrange.
Passo 3
Via 1 — eliminar z usando a restrição e reduzir para duas variáveis.
Da restrição temos, desde que x e y não sejam zero (caso contrário o lado esquerdo seria zero, impossível), que
z=\frac{1}{x^{2}y^{4}}.
Observe que x^{2}\ge 0 e y^{4}\ge 0 para todo x,y, portanto x^{2}y^{4}\ge0. Como o produto com z é 1>0, concluímos que necessariamente z>0. Substituindo em D^{2} obtemos a função de duas variáveis
Explicando rápido como obtive: a derivada de u é 1; a derivada de u^{-2}v^{-4} em relação a u é -2u^{-3}v^{-4}, daí o termo -2/(u^{3}v^{4}); e análogamente para v.
Note que z é positivo, conforme já observamos. Como os sinais de x e y não afetam a restrição (aparecem elevados a potências pares), todas as combinações independentes de sinais para x e y são permitidas. Assim existem quatro pontos críticos:
com sinais escolhidos independentemente para x e y.
Passo 7
Verificação de que é mínimo global (via 1).
Para garantir que esses pontos realmente minimizam a distância e não são máximos ou pontos de sela, note o comportamento da função objetivo S(u,v)=u+v+1/(u^{2}v^{4}):
Se u\to 0^{+} ou v\to 0^{+}, o termo \dfrac{1}{u^{2}v^{4}}\to+\infty.
Se u\to+\infty ou v\to+\infty, claramente S\to+\infty por causa dos termos u ou v.
Assim S tende a +\infty nas fronteiras do domínio u>0,v>0, de modo que existe pelo menos um mínimo global no domínio interior. Como encontramos um único ponto crítico positivo (u,v) e a função diverge nas fronteiras, esse ponto crítico é o mínimo global. Portanto os quatro pontos listados são os pontos da superfície mais próximos da origem.
Passo 8
Via 2 — método de Lagrange (aplicação direta e leitura didática da técnica).
Princípio do método: para minimizar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeito à restrição g(x,y,z)=x^{2}y^{4}z-1=0, procura-se \lambda tal que
junto com a restrição x^{2}y^{4}z=1. Vou simplificar essas equações dividindo por fatores óbvios (lembrando que não podemos ter x=0 nem y=0 nem z=0 porque a restrição implica produto não nulo).
Passo 9
Resolver o sistema de Lagrange passo a passo.
Das três equações:
2x=2\lambda x y^{4} z\quad\Rightarrow\quad 1=\lambda y^{4} z \quad(\text{dividindo por }2x\neq0),
2y=4\lambda x^{2}y^{3} z\quad\Rightarrow\quad 1=2\lambda x^{2}y^{2} z \quad(\text{dividindo por }2y\neq0),
Comparando as duas primeiras expressões para \lambda (escritas isolando \lambda) ou, mais direto, dividindo a segunda igualdade pela primeira, obtém-se
Isto dá, como antes, v=2u. Agora usar a terceira equação e a restrição: da terceira temos \lambda=2z/(x^{2}y^{4}). Da primeira tínhamos \lambda=1/(y^{4}z). Igualando as duas expressões para \lambda:
Assim a via de Lagrange confirma a solução anterior.
Passo 10
Observações finais e contagem de pontos.
O sinal de z é determinado pela restrição e é positivo: z=2^{-5/7}>0.
Os sinais de x e y são independentes entre si (ambos podem ser positivos ou negativos) porque somente aparecem com potências pares na restrição. Portanto há quatro pontos minimizadores distintos no espaço real.