Resolva por duas vias: sem usar método de Lagrange e usando este,
Determine os pontos da superfície x^{2} y^{4} z=1 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por x^{2}y^{4}z=1 e pede: determinar os pontos dessa superfície que estão mais próximos da origem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem x^{2}y^{4}z=1.
  • Quer-se minimizar a distância da origem aos pontos da superfície, isto é, minimizar \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    O que preciso obter: os pontos (x,y,z) da superfície que tornam essa distância mínima (pode ser útil trabalhar com o quadrado da distância para simplificar).

Passo 2

Preparação e ideia geral (por que minimizar o quadrado da distância).
É mais simples minimizar o quadrado da distância porque a raiz é função crescente positiva, então o ponto que minimiza
D=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
é o mesmo que minimiza
D^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Vou então minimizar a função objetivo
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sob a restrição
g(x,y,z)=x^{2}y^{4}z-1=0.
Primeira via: sem multiplicadores de Lagrange (vou usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema). Segunda via: aplicar o método de Lagrange diretamente. Vou começar pela via sem Lagrange.

Passo 3

Via 1 — eliminar z usando a restrição e reduzir para duas variáveis.
Da restrição temos, desde que x e y não sejam zero (caso contrário o lado esquerdo seria zero, impossível), que
z=\frac{1}{x^{2}y^{4}}.
Observe que x^{2}\ge 0 e y^{4}\ge 0 para todo x,y, portanto x^{2}y^{4}\ge0. Como o produto com z é 1>0, concluímos que necessariamente z>0. Substituindo em D^{2} obtemos a função de duas variáveis
S(x,y)=x^{2}+y^{2}+\left(\frac{1}{x^{2}y^{4}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{4}y^{8}}.
Para simplificar a álgebra é conveniente passar para variáveis não negativas definindo
u=x^{2},\qquad v=y^{2},
de modo que u>0, v>0 e
S(u,v)=u+v+\frac{1}{u^{2}v^{4}}.
Agora o problema é minimizar S(u,v) para u>0,\;v>0.

Passo 4

Derivadas parciais e equações críticas em u,v.
Calculo as derivadas parciais de S(u,v):
\frac{\partial S}{\partial u}=1-\frac{2}{u^{3}v^{4}}, \qquad \frac{\partial S}{\partial v}=1-\frac{4}{u^{2}v^{5}}.
Explicando rápido como obtive: a derivada de u é 1; a derivada de u^{-2}v^{-4} em relação a u é -2u^{-3}v^{-4}, daí o termo -2/(u^{3}v^{4}); e análogamente para v.
Para pontos críticos igualamos a zero:
1-\frac{2}{u^{3}v^{4}}=0\quad\Rightarrow\quad u^{3}v^{4}=2 \tag{1}
1-\frac{4}{u^{2}v^{5}}=0\quad\Rightarrow\quad u^{2}v^{5}=4. \tag{2}

Passo 5

Resolver o sistema para u e v.
Dividindo a equação (2) por (1) temos
\frac{u^{2}v^{5}}{u^{3}v^{4}}=\frac{4}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{v}{u}=2.
Logo
v=2u.
Substituindo em (1):
u^{3}(2u)^{4}=2\quad\Rightarrow\quad u^{3}\cdot 16u^{4}=2\quad\Rightarrow\quad 16u^{7}=2.
Portanto
u^{7}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}=2^{-3},
o que dá
u=2^{-3/7}.
E então
v=2u=2^{1}\cdot 2^{-3/7}=2^{4/7}.

Passo 6

Voltar às variáveis x,y,z e obter as coordenadas dos pontos.
Como u=x^{2} e v=y^{2}, obtemos
x^{2}=2^{-3/7}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2^{-3/14},
y^{2}=2^{4/7}\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2^{2/7}.
Usando a restrição para z:
z=\frac{1}{x^{2}y^{4}}=\frac{1}{u\cdot v^{2}}.
Calcule z com os u,v encontrados:
z=\frac{1}{2^{-3/7}\cdot(2^{4/7})^{2}}=\frac{1}{2^{-3/7}\cdot 2^{8/7}}=\frac{1}{2^{5/7}}=2^{-5/7}.
Note que z é positivo, conforme já observamos. Como os sinais de x e y não afetam a restrição (aparecem elevados a potências pares), todas as combinações independentes de sinais para x e y são permitidas. Assim existem quatro pontos críticos:
\bigl(\pm 2^{-3/14},\\ \pm 2^{2/7},\\\ 2^{-5/7}\bigr),
com sinais escolhidos independentemente para x e y.

Passo 7

Verificação de que é mínimo global (via 1).
Para garantir que esses pontos realmente minimizam a distância e não são máximos ou pontos de sela, note o comportamento da função objetivo S(u,v)=u+v+1/(u^{2}v^{4}):
  • Se u\to 0^{+} ou v\to 0^{+}, o termo \dfrac{1}{u^{2}v^{4}}\to+\infty.
  • Se u\to+\infty ou v\to+\infty, claramente S\to+\infty por causa dos termos u ou v.
    Assim S tende a +\infty nas fronteiras do domínio u>0,v>0, de modo que existe pelo menos um mínimo global no domínio interior. Como encontramos um único ponto crítico positivo (u,v) e a função diverge nas fronteiras, esse ponto crítico é o mínimo global. Portanto os quatro pontos listados são os pontos da superfície mais próximos da origem.

Passo 8

Via 2 — método de Lagrange (aplicação direta e leitura didática da técnica).
Princípio do método: para minimizar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeito à restrição g(x,y,z)=x^{2}y^{4}z-1=0, procura-se \lambda tal que
\nabla f=\lambda\nabla g.
Isso significa resolver o sistema
2x=\lambda\cdot(2x y^{4} z),\qquad 2y=\lambda\cdot(4x^{2}y^{3} z),\qquad 2z=\lambda\cdot(x^{2}y^{4}),
junto com a restrição x^{2}y^{4}z=1. Vou simplificar essas equações dividindo por fatores óbvios (lembrando que não podemos ter x=0 nem y=0 nem z=0 porque a restrição implica produto não nulo).

Passo 9

Resolver o sistema de Lagrange passo a passo.
Das três equações:
2x=2\lambda x y^{4} z\quad\Rightarrow\quad 1=\lambda y^{4} z \quad(\text{dividindo por }2x\neq0),
2y=4\lambda x^{2}y^{3} z\quad\Rightarrow\quad 1=2\lambda x^{2}y^{2} z \quad(\text{dividindo por }2y\neq0),
2z=\lambda x^{2}y^{4}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2z}{x^{2}y^{4}}.
Comparando as duas primeiras expressões para \lambda (escritas isolando \lambda) ou, mais direto, dividindo a segunda igualdade pela primeira, obtém-se
\frac{1}{1}=\frac{2\lambda x^{2}y^{2} z}{\lambda y^{4} z}\quad\Rightarrow\quad 1=\frac{2x^{2}}{y^{2}}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=2x^{2}.
Isto dá, como antes, v=2u. Agora usar a terceira equação e a restrição: da terceira temos \lambda=2z/(x^{2}y^{4}). Da primeira tínhamos \lambda=1/(y^{4}z). Igualando as duas expressões para \lambda:
\frac{1}{y^{4}z}=\frac{2z}{x^{2}y^{4}}\quad\Rightarrow\quad 1=\frac{2z^{2}}{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad 2z^{2}=x^{2}.
Usando z=\dfrac{1}{x^{2}y^{4}} (a restrição), substituindo y^{2}=2x^{2} e fazendo contas chega-se à mesma equação para u:
u^{3}v^{4}=2,
o que, combinado com v=2u, produz u=2^{-3/7} e v=2^{4/7}. Reconstituindo x,y,z obtém-se exatamente os mesmos pontos:
x=\pm 2^{-3/14},\qquad y=\pm 2^{2/7},\qquad z=2^{-5/7}.
Assim a via de Lagrange confirma a solução anterior.

Passo 10

Observações finais e contagem de pontos.
  • O sinal de z é determinado pela restrição e é positivo: z=2^{-5/7}>0.
  • Os sinais de x e y são independentes entre si (ambos podem ser positivos ou negativos) porque somente aparecem com potências pares na restrição. Portanto há quatro pontos minimizadores distintos no espaço real.

Resposta

(2^{-3/14},\\\ 2^{2/7},\\\ 2^{-5/7})
(2^{-3/14},\\\ -2^{2/7},\\\ 2^{-5/7})
(-2^{-3/14},\\\ 2^{2/7},\\\ 2^{-5/7})
(-2^{-3/14},\\\ -2^{2/7},\\\ 2^{-5/7})

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