Achar os valores mínimo e máximo de:

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar os valores mínimo e máximo de f(x)=|x^4-2x^3| em [0,3]. O conteúdo envolve derivadas, teste de extremos e tratamento de valor absoluto usando definição por partes. Vamos usar a teoria de derivadas para identificar pontos críticos e comparar valores em intervalos.

Passo 2

Definimos g(x)=x^4-2x^3. Observamos que
g(x)=x^3(x-2),
logo g(x)<=0 em 0<= x<=2 e g(x)>=0 em 2<= x<=3. Assim
f(x)= -,g(x)=2x^3-x^4,&0<= x<=2, g(x)=x^4-2x^3,&2<= x<=3

Passo 3

Para 0<= x<=2, calculamos
f1(x)=2x^3-x^4,
e sua derivada
f1'(x)=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x)
Resolvendo f1'(x)=0 obtemos x=0 ou x=tfrac32. O ponto x=3/2 é crítico interno.

Passo 4

Para 2<= x<=3, temos
f2(x)=x^4-2x^3,
com derivada
f2'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)
A equação f2'(x)=0 não tem solução em (2,3), logo só consideramos os extremos do intervalo.

Passo 5

Avaliamos f nos pontos 0, 3/2, 2 e 3:
f(0)=0, fl(tfrac32r)=tfrac2716, f(2)=0, f(3)=27

Passo 6

Comparando esses valores, o mínimo de f em [0,3] é 0 (em x=0 e x=2) e o máximo é 27 (em x=3).

Resposta

Mínimo de f: 0 (ocorre em x = 0 e x = 2); Máximo de f: 27 (ocorre em x = 3).

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