Determine os seguintes limites:

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxtoinfty(ln x)^1/x. O conteúdo aqui envolve transformação de potências em exponenciais usando logaritmo e depois avaliar um limite que resulta num caso “ e^algo”.

Passo 2

Começamos definindo y=(ln x)^1/x. Aplicando logaritmo natural, usamos a propriedade ln(a^b)=bln a para obter ln y=1xln(ln x). Assim, o limite original sai de um formato de potência e vira um limite de somatório.

Passo 3

Agora avaliamos limxtoinftyln y=limxtoinftyln(ln x)x. Note que ln(ln x)toinfty mas cresce muito mais devagar que x. Pelo critério de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: derivada de ln(ln x) é 1/(xln x) e de x é 1, logo o novo limite é limxtoinfty1/(xln x)=0.

Passo 4

Como limxtoinftyln y=0, voltamos ao valor de y usando exponencial: limxtoinftyy=limxtoinftye^ln y=e^0=1.

Resposta

1

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