Determine os seguintes limites no infinito:
lim x infty raizx-1x^2+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyraizx-1x^2+3x-2. O tema aqui é limite no infinito de funções que combinam radicais e polinômios, e para resolver vamos precisar comparar as taxas de crescimento de raizx e de x^2.

Passo 2

Quando x tende a infinito, a raiz quadrada cresce como x^1/2, enquanto o polinômio do denominador cresce como x^2. Em geral, se o numerador cresce mais devagar que o denominador, o limite é zero. Para ver isso de forma rigorosa, vamos usar a técnica de divisão pelo maior grau de x.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^2, o maior grau que aparece no denominador:
raizx-1x^2+3x-2 = x^-3/2 - x^-21 + 3x^-1 - 2x^-2

Passo 4

Agora avaliamos o limite termo a termo. Para xtoinfty: x^-3/2to0, x^-2to0, x^-1to0. Assim o numerador tende a 0-0=0 e o denominador a 1+0-0=1. Portanto o limite da fração é 0/1=0.

Resposta

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