Achar os valores mínimo e máximo de:
f(x)=x^44-x^3-2 x^2+3,-2 <= x <= 3

Passo 1

A função dada é um polinômio em um intervalo fechado. Para achar extremos globais em -2,3 precisamos encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero) e também avaliar a função nos extremos do intervalo.

Passo 2

Derivamos f usando a regra do poder para cada termo. A derivada é:
f'(x)=x^3-3x^2-4x

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
x^3-3x^2-4x=0

Passo 4

Fatorando x em evidência:
x(x^2-3x-4)=0

Passo 5

Resolvendo cada fator: x=0 ou x^2-3x-4=0, cuja solução é
x=3pmraiz9+162=3pm52implies x=4 ou x=-1

Passo 6

Dos pontos críticos, apenas x=0 e x=-1 estão no intervalo [-2,3] (x=4 fica fora).

Passo 7

Agora avaliamos f nos pontos x=-2, x=-1, x=0 e x=3:
f(-2)=\frac{(-2)4}{4}-(-2)3-2(-2)^2+3=7
f(-1)=\frac{(-1)4}{4}-(-1)3-2(-1)^2+3=\frac{9}{4}
f(0)=3
f(3)=\frac{34}{4}-33-2\cdot3^2+3=-\frac{87}{4}

Passo 8

Comparando os valores, o máximo ocorre em x=-2 (f=7) e o mínimo em x=3 (f=-87/4).

Resposta

O valor mínimo é -\frac{87}{4} em x=3 e o valor máximo é 7 em x=-2.

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