Achar os valores mínimo e máximo de:
Passo 1
A função dada é um polinômio em um intervalo fechado. Para achar extremos globais em
precisamos encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero) e também avaliar a função nos extremos do intervalo.
Passo 2
Derivamos f usando a regra do poder para cada termo. A derivada é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
Passo 4
Fatorando x em evidência:
Passo 5
Resolvendo cada fator: x=0 ou x^2-3x-4=0, cuja solução é
Passo 6
Dos pontos críticos, apenas x=0 e x=-1 estão no intervalo [-2,3] (x=4 fica fora).
Passo 7
Agora avaliamos f nos pontos x=-2, x=-1, x=0 e x=3:
f(-2)=\frac{(-2)4}{4}-(-2)3-2(-2)^2+3=7
f(-1)=\frac{(-1)4}{4}-(-1)3-2(-1)^2+3=\frac{9}{4}
f(0)=3
f(3)=\frac{34}{4}-33-2\cdot3^2+3=-\frac{87}{4}
f(-2)=\frac{(-2)4}{4}-(-2)3-2(-2)^2+3=7
f(-1)=\frac{(-1)4}{4}-(-1)3-2(-1)^2+3=\frac{9}{4}
f(0)=3
f(3)=\frac{34}{4}-33-2\cdot3^2+3=-\frac{87}{4}
Passo 8
Comparando os valores, o máximo ocorre em x=-2 (f=7) e o mínimo em x=3 (f=-87/4).
Resposta
O valor mínimo é -\frac{87}{4} em x=3 e o valor máximo é 7 em x=-2.