Achar os valores mínimo e máximo de:
f(x)=x^3-3 x^2+3 x-1,-2 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores mínimo e máximo da função f(x)=x^3-3x^2+3x-1 no intervalo fechado [-2,1]. O conteúdo aqui é cálculo de extremos em intervalos fechados usando derivadas e o Teorema do Valor Extremo.

Passo 2

Para achar pontos críticos, calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2
Igualando a zero, vemos que f'(x)=0 só em x=1.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Extremo, como f é contínua e diferenciável em [-2,1], os candidatos a extremos são os pontos críticos internos (aqui x=1) e as bordas x=-2 e x=1.

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+3(-2)-1=-8-12-6-1=-27,
f(1)=1^3-3,1^2+3cdot1-1=1-3+3-1=0

Passo 5

Comparando os valores obtidos, concluímos que o menor valor é -27 (em x=-2) e o maior valor é 0 (em x=1).

Resposta

Mínimo: f(-2)=-27. Máximo: f(1)=0.

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