Determine se a seguinte função é contínua em x=0 :
f(x)=-x x<0
f(x)=x^2 0
f(x)=2 x-1 x>1
(descontínua em x=0 )

Passo 1

A função é dada por três expressões em partes: f(x)=-x para x<0, f(x)=x^2 para 0 e f(x)=2x-1 para x>1. O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto, e vamos precisar da definição de continuidade e de limites laterais.

Passo 2

Para ver se f é contínua em x=0, calculamos o limite pela esquerda e pela direita:
O limite pela esquerda é
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-x)=0
O limite pela direita é
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^2)=0
Como ambos os limites são iguais a 0, o limite bilateral existe e vale 0.

Passo 3

Para que a função seja contínua em x=0, além do limite existir, precisamos também que f(0) esteja definido e seja igual a esse limite. Aqui f(0) não está definido (nenhuma das partes cobre x=0). Portanto, não satisfaz a definição de continuidade.

Passo 4

Concluímos que a função apresenta uma descontinuidade removível em x=0, pois poderíamos definir f(0)=0 para restaurar a continuidade, mas do jeito que está ela é descontínua neste ponto.

Resposta

A função é descontínua em x = 0.

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