Dados os vetores u=10 i+3 j+5 k e v=2 j+3 k, achar o vetor w, paralelo a v de mesmo módulo que u.

Passo 1

A questão pede para encontrar um vetor vec w paralelo a vec v e com o mesmo módulo de vec u. O conteúdo é escalonamento de vetores e cálculo de módulo, e vamos precisar usar que, se vec w é paralelo a vec v, então vec w = t,vec v para algum escalar t, e que o módulo de um vetor vec a=(ax,ay,az) é dado por |vec a|=raizax^2+ay^2+az^2.

Passo 2

Como vec w deve ser paralelo a vec v, escrevemos vec w = t,vec v. Como vec v=2,vec j+3,vec k, isso dá
vec w = t,(2,vec j+3,vec k) = (0,2t,3t)

Passo 3

Agora impomos que o módulo de vec w seja igual ao módulo de vec u. Primeiro calculamos:
|vec u| = raiz10^2 + 3^2 + 5^2 = raiz134,
|vec v| = raiz2^2 + 3^2 = raiz13
Como |vec w| = |t|,|vec v|, temos
|t|,raiz13 = raiz134
Adotando t>0 para manter o mesmo sentido de vec v, obtemos
t = raiz134raiz13 = raiz13413

Passo 4

Substituindo esse valor em vec w = t,(2,vec j+3,vec k), concluímos que
vec w = raiz13413,(2,vec j + 3,vec k)

Resposta

vec w = raiztfrac13413,l(2,vec j + 3,vec kr)

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