Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
lim t infty 7 t^3+4 t2 t^3-t^2+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limttoinfty7t^3+4t2t^3 - t^2 +3. O conteúdo é de cálculo de limites de funções racionais e vamos precisar usar propriedades de limites (somatório, produto, quociente) e fatoração pelo maior grau em t.

Passo 2

Primeiro fatoramos t^3 no numerador e no denominador, usando a propriedade de fator comum em frações:
7t^3 + 4t2t^3 - t^2 + 3 = t^3l(7 + tfrac4t^2r)t^3l(2 - tfrac1t + tfrac3t^3r)

Passo 3

Em seguida aplicamos a propriedade do limite de quociente (desde que o limite do denominador seja diferente de zero) e do produto:
limttoinfty7t^3 + 4t2t^3 - t^2 + 3 = limttoinftyt^3l(7 + tfrac4t^2r)t^3l(2 - tfrac1t + tfrac3t^3r) = limttoinftyt^3cdotlimttoinftyl(7 + tfrac4t^2r)limttoinftyt^3cdotlimttoinftyl(2 - tfrac1t + tfrac3t^3r)

Passo 4

Agora usamos que limttoinftyt^3 = +infty e que limttoinftytfrac4t^2 = 0, limttoinftytfrac1t = 0, limttoinftytfrac3t^3 = 0 pela propriedade do limite de potência de t. Então
limttoinftyl(7 + tfrac4t^2r) = 7, limttoinftyl(2 - tfrac1t + tfrac3t^3r) = 2

Passo 5

Por fim, ao simplificar a razão dos termos que não explodem ao infinito, obtemos
inftycdot 7inftycdot 2 = 72
Portanto, o limite é 7/2.

Resposta

7/2

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