Determinar o volume
do sólido constituido pelo cone
e pelo cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume
de um sólido que é formado por duas partes: um cone definido por
no intervalo
e um cilindro definido por
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos usando integrais, especialmente em coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para formas circulares como cones e cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o cone. A equação
descreve um cone com vértice deslocado. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso representa um cone com seu vértice no ponto
. No intervalo
, o cone está invertido, já que estamos abaixo do vértice. Em coordenadas cilíndricas, onde
,
e
, a equação do cone fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cilindro
no intervalo
. Em coordenadas cilíndricas, isso simplifica para:
Isso significa que temos um cilindro com raio 1 e altura de
até
.
Passo 4
Para encontrar o volume total do sólido, vamos calcular separadamente o volume do cone e o volume do cilindro e depois somá-los.
Volume do Cone:
Usamos a fórmula do volume em coordenadas cilíndricas:
Note que
representa o raio do cone em cada altura
.
Volume do Cilindro:
Similarmente, para o cilindro:
Passo 5
Vamos resolver primeiro o volume do cone.
Aqui, substituímos
porque
.
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume do cilindro.
Integrando em relação a
:
Integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos os volumes do cone e do cilindro para obter o volume total do sólido:
Resposta
O volume
do sólido é
unidades cúbicas.