Determinar o volume V do sólido constituido pelo cone (z-3)^2 >= x^2+y^2, 0 <= z <= 2 e pelo cilindro x^2+y^2 <= 1,2 <= z <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o volume V de um sólido que é formado por duas partes: um cone definido por (z-3)^2 >= x^2+y^2 no intervalo 0 <= z <= 2 e um cilindro definido por x^2+y^2 <= 1 no intervalo 2 <= z <= 5. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos usando integrais, especialmente em coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para formas circulares como cones e cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o cone. A equação (z-3)^2 >= x^2+y^2 descreve um cone com vértice deslocado. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
(z-3)^2 = x^2 + y^2
Isso representa um cone com seu vértice no ponto (0,0,3). No intervalo 0 <= z <= 2, o cone está invertido, já que estamos abaixo do vértice. Em coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta e z = z, a equação do cone fica:
(z-3)^2 = r^2

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cilindro x^2 + y^2 <= 1 no intervalo 2 <= z <= 5. Em coordenadas cilíndricas, isso simplifica para:
r <= 1 e 2 <= z <= 5
Isso significa que temos um cilindro com raio 1 e altura de z = 2 até z = 5.

Passo 4

Para encontrar o volume total do sólido, vamos calcular separadamente o volume do cone e o volume do cilindro e depois somá-los.
Volume do Cone:
Usamos a fórmula do volume em coordenadas cilíndricas:
Vcone = integral0^2 integral0^2pi integral0^|z-3| r , dr , dtheta , dz
Note que |z-3| representa o raio do cone em cada altura z.
Volume do Cilindro:
Similarmente, para o cilindro:
Vcilindro = integral2^5 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos resolver primeiro o volume do cone.
Vcone = integral0^2 integral0^2pi integral0^3 - z r , dr , dtheta , dz
Aqui, substituímos |z-3| = 3 - z porque z <= 2.
Integrando em relação a r:
integral0^3 - z r , dr = 12(3 - z)^2
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 12(3 - z)^2 , dtheta = pi (3 - z)^2
Por fim, integramos em relação a z:
Vcone = pi integral0^2 (3 - z)^2 , dz
Calculando a integral:
integral (3 - z)^2 , dz = integral (9 - 6z + z^2) , dz = 9z - 3z^2 + 13z^3
Avaliado de 0 a 2:
9(2) - 3(2)^2 + 13(2)^3 - [0] = 18 - 12 + 83 = 6 + 83 = 263
Então:
Vcone = pi cdot 263 = 26pi3

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume do cilindro.
Vcilindro = integral2^5 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta , dz
Integrando em relação a r:
integral0^1 r , dr = 12
Integramos em relação a theta:
integral0^2pi 12 , dtheta = pi
Por fim, integramos em relação a z:
Vcilindro = pi integral2^5 dz = pi (5 - 2) = 3pi

Passo 7

Agora, somamos os volumes do cone e do cilindro para obter o volume total do sólido:
V = Vcone + Vcilindro = 26pi3 + 3pi = 26pi + 9pi3 = 35pi3

Resposta

O volume V do sólido é dfrac35pi3 unidades cúbicas.

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