Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica x^{2}+a z=a^{2}, a>0 e pelos planos x+y=a, y=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica x^{2}+a z=a^{2} (com a>0) e pelos planos x+y=a, y=0 e z=0.\n
Informações dadas:
x^{2}+a z=a^{2},\qquad x+y=a,\qquad y=0,\qquad z=0,\qquad a>0.
Pergunta: calcular o volume do sólido descrito por essas superfícies (um único valor).

Passo 2

Primeiro isolo z na equação da superfície para ver qual é a altura do sólido em função de x:
x^{2}+a z=a^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{a^{2}-x^{2}}{a}=a-\frac{x^{2}}{a}.
Observe que essa superfície não depende de y: é um “cilindro” (no sentido de ser translacional na direção y). O plano inferior é z=0, então para existir volume acima de z=0 precisamos de z\ge0, ou seja
a-\frac{x^{2}}{a}\ge0\quad\Longrightarrow\quad a^{2}-x^{2}\ge0\quad\Longrightarrow\quad |x|\le a.
As faces laterais impostas pelos planos em y são y=0 e x+y=a, isto é 0\le y\le a-x. Como a>0 e |x|\le a temos a-x\ge0 para todo x\le a, logo a projeção no plano xy do sólido é
D=\{(x,y)\mid -a\le x\le a,\;0\le y\le a-x\}.
Geometricamente, D é um triângulo com vértices (-a,0), (a,0) e (-a,2a) (a aresta superior é a reta y=a-x, a inferior é y=0, e a borda vertical em x=-a fecha o triângulo).

Passo 3

Fórmula para volume por integração dupla: se o sólido está entre z=0 (base) e z=z_{\text{top}}(x,y), então
V=\iint_{D} \big(z_{\text{top}}(x,y)-0\big)\,dA=\iint_{D} z_{\text{top}}(x,y)\,dA.
Aqui z_{\text{top}}(x,y)=a-\dfrac{x^{2}}{a}, que é independente de y. Portanto
V=\iint_{D}\left(a-\frac{x^{2}}{a}\right)\,dA.

Passo 4

Escolho integrar primeiro em y porque o integrando não depende de y. Escrevo a integral iterada com os limites descritos no passo 2:
V=\int_{x=-a}^{a}\left(\int_{y=0}^{a-x}\left(a-\frac{x^{2}}{a}\right)dy\right)dx.
Como a expressão dentro não depende de y, a integral interna é simplesmente o integrando multiplicado pelo comprimento do intervalo em y, que é a-x:
\int_{y=0}^{a-x}\left(a-\frac{x^{2}}{a}\right)dy=\left(a-\frac{x^{2}}{a}\right)(a-x).

Passo 5

Multiplico e simplifico o integrando em função de x:
\left(a-\frac{x^{2}}{a}\right)(a-x)=a^{2}-x^{2}-a x+\frac{x^{3}}{a}.
Portanto
V=\int_{-a}^{a}\left(a^{2}-x^{2}-a x+\frac{x^{3}}{a}\right)dx.

Passo 6

Faço a integração termo a termo. Alguns termos são funções ímpares e somam zero no intervalo simétrico [-a,a].
Calculo cada integral:
\int_{-a}^{a} a^{2}\,dx = a^{2}\cdot(2a)=2a^{3},
\int_{-a}^{a} (-x^{2})\,dx = -2\int_{0}^{a} x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{a^{3}}{3}=-\frac{2a^{3}}{3},
\int_{-a}^{a} (-a x)\,dx = -a\int_{-a}^{a} x\,dx = -a\cdot 0 =0\quad\text{(função ímpar)},çãí
\int_{-a}^{a} \frac{x^{3}}{a}\,dx = \frac{1}{a}\int_{-a}^{a} x^{3}\,dx = \frac{1}{a}\cdot 0 =0\quad\text{(função ímpar)}.çãí
Somando os resultados:
V=2a^{3}-\frac{2a^{3}}{3}=\frac{6a^{3}-2a^{3}}{3}=\frac{4a^{3}}{3}.

Passo 7

Conferindo: a>0 garante V>0. A unidade do volume é coerente com a^{3}. Assim o volume calculado é
V=\frac{4}{3}a^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}a^{3}

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