Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica
e pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica
(com
) e pelos planos
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta: calcular o volume do sólido descrito por essas superfícies (um único valor).
Passo 2
Primeiro isolo
na equação da superfície para ver qual é a altura do sólido em função de
:
Observe que essa superfície não depende de
: é um “cilindro” (no sentido de ser translacional na direção
). O plano inferior é
, então para existir volume acima de
precisamos de
, ou seja
As faces laterais impostas pelos planos em
são
e
, isto é
. Como
e
temos
para todo
, logo a projeção no plano
do sólido é
Geometricamente,
é um triângulo com vértices
,
e
(a aresta superior é a reta
, a inferior é
, e a borda vertical em
fecha o triângulo).
Passo 3
Fórmula para volume por integração dupla: se o sólido está entre
(base) e
, então
Aqui
, que é independente de
. Portanto
Passo 4
Escolho integrar primeiro em
porque o integrando não depende de
. Escrevo a integral iterada com os limites descritos no passo 2:
Como a expressão dentro não depende de
, a integral interna é simplesmente o integrando multiplicado pelo comprimento do intervalo em
, que é
:
Passo 5
Multiplico e simplifico o integrando em função de
:
Portanto
Passo 6
Faço a integração termo a termo. Alguns termos são funções ímpares e somam zero no intervalo simétrico
.
Calculo cada integral:
Somando os resultados:
Passo 7
Conferindo:
garante
. A unidade do volume é coerente com
. Assim o volume calculado é