Pras seguintes funções
, faça um estudo do gráfico de
. Encontre o domínio de
, os zeros de
, a interseção com o eixo
, o comportamento assintótico de
, as assíntotas verticais de
(caso existam), os pontos críticos e a variaçao de
, os pontos de inflexão e a convexidade de
. Faça um esboço detalhado do gráfico de
.
,
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo do gráfico da função
As perguntas específicas que devemos responder são:
- Domínio de
. - Zeros de
. - Interseção com o eixo
(valor em ). - Comportamento assintótico de
(incluindo assíntotas horizontais quando existirem). - Assíntotas verticais (se existirem).
- Pontos críticos e variação de
(intervalos de crescimento/decrescimento). - Pontos de inflexão e convexidade/concavidade.
- Esboço detalhado do gráfico (forma, pontos notáveis e como ele se repete).
Informações dadas diretamente no enunciado:
- A função é
. - Não há outras restrições no enunciado (logo assumimos que a figura, se tivesse, não é necessária).
Passo 2
Domínio e razão do domínio.
- A função
(seno) está definida para todo . - A função exponencial
está definida para todo . - Como o expoente é
, que é finito para todo , a composição está definida para todo real.
Portanto o domínio é
Passo 3
Intervalo (imagem) e por que é assim.
- Sabemos que
oscila entre e :
- Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente), obtemos
Logo a imagem (contrange) é o intervalo fechado
Isso já nos diz que
é positiva para todo
e limitada.
Passo 4
Zeros de
e interseção com o eixo
.
- Como a exponencial é sempre positiva,
para todo . Portanto não tem zeros. - Interseção com o eixo
é o valor em . Como ,
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 5
Assíntotas e comportamento assintótico.
- A função
é periódica de período , logo também é periódica de período . - Uma função periódica e limitada não tem assíntotas horizontais no infinito (não converge para um valor único quando
), nem tem assíntotas oblíquas. Portanto não há assíntotas horizontais nem oblíquas. - Também não há assíntotas verticais porque
é definida e suave para todo . Em suma: - Não há assíntotas verticais.
- Não há assíntotas horizontais.
- O comportamento assintótico é oscilatório e periódico entre
e .
Passo 6
Cálculo da derivada e explicação da regra usada.
- Vamos derivar
usando a regra da cadeia: - Derivada de
em relação a é . - No nosso caso
e .
- Derivada de
- Portanto
Observação:
sempre, então o sinal de
é o mesmo que o sinal de
.
Passo 7
Pontos críticos e monotonicidade (variação).
- Pontos críticos ocorrem quando
ou indefinida. Aqui é sempre definida, então resolvemos
- As soluções de
são
- Para classificar sinal de
, como dito, é suficiente olhar o sinal de : -
em intervalos : aí e é crescente. -
em intervalos : aí e é decrescente.
-
- Assim, em cada período
, cresce do mínimo ao máximo e depois decresce do máximo ao mínimo.
Passo 8
Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos) usando a segunda derivada.
- Derivamos novamente
:
Aplicando produto e cadeia:
Fatorando
obtemos
- Em pontos críticos
. Substituindo em ,
Agora
e
. Portanto:
- Em
: e
logo é máximo local (e na verdade máximo global por periodicidade e limites do seno).
- Em
(ou ): e
logo é mínimo local (e mínimo global).
- Valores correspondentes:
- Máximos em
com valor . - Mínimos em
com valor .
- Máximos em
Passo 9
Pontos de inflexão e convexidade/concavidade.
- Pontos de inflexão ocorrem quando
(e há troca de sinal). Como , basta resolver
- Usamos
. Substituindo:
- Seja
. A equação quadrática é
As raízes são
A raiz viável para seno (que deve estar em
) é
a outra raiz é menor que
e não corresponde a nenhum seno válido.
- Assim as abscissas dos pontos de inflexão são as soluções de
:
Numericamente, com
:
- Valor de
nesses pontos:
- Convexidade/concavidade (sinal de
): - Lembre que
. - A função muda de convexidade quando
passa pelo valor . - Como a expressão
é negativa para entre as raízes , e como multiplicamos por para obter , concluímos: -
(função convexa para cima) quando — isto ocorre em grande parte da janela do seno. -
(função côncava para baixo) quando — isto ocorre em pequenos arcos ao redor do topo do seno.
-
- Em cada período há exatamente duas inflexões (as duas abscissas encontradas) separando regiões convexas e côncavas.
- Lembre que
Passo 10
Propriedades adicionais úteis para o esboço (simetrias e periodicidade).
- Periodicidade:
. - Relação simétrica interessante:
Isso significa
. Não é par nem ímpar, mas tem essa simetria recíproca.
- Pontos notáveis por período
a : -
. -
(máximo). -
. -
(mínimo). -
.
-
- Entre
e a função cresce de até ; entre e decresce de até ; entre e cresce de até .
Passo 11
Esboço detalhado do gráfico (descrição que permite desenhar sem figura).
- Eixo
: marque os pontos . - Eixo
: marque . - Em
o ponto é . Suba suavemente até , com curvatura que é inicialmente convexa até a primeira inflexão em (onde ); depois entre essa inflexão e a curva fica côncava, atingindo o pico . - Depois do máximo em
, a curva desce passando por (segunda inflexão do período, onde novamente), e segue até o mínimo em . - A partir do mínimo, a curva sobe de novo até
, repetindo o padrão a cada . - Não há rupturas ou assíntotas; o gráfico é suave (infinitamente diferenciável), periódico e contido entre as duas retas horizontais
e . - Dica prática para desenhar: desenhe uma onda senoidal na vertical transformada exponencialmente — os picos serão “esticados” para
e os vales “comprimidos” para , e entre esses pontos preste atenção às duas inflexões por período (uma antes e outra depois do pico).
Resposta
Domínio:
.
Zeros: nenhum.
Interseção com o eixo
:
(ponto
).
Imagem (intervalo de valores):
.
Assíntotas horizontais/verticais/obliquas: não existem; comportamento assintótico é periódico e oscilatório entre
e
.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Derivada:
.
Pontos críticos:
.
- Máximos em
com valor (máximo global). - Mínimos em
com valor (mínimo global).
Monotonicidade:
- Crescente em
. - Decrescente em
.
Segunda derivada:
.
Pontos de inflexão: soluções de
, i.e.
aproximadamente
e
. Nesses pontos
.
Convexidade/concavidade:
-
é convexa (côncava para cima, ) quando (intervalos correspondentes por período). -
é côncava (côncava para baixo, ) quando (pequenos arcos ao redor do pico).
Periodicidade e simetria:
- Período
. - Relação
(ou seja ).
Esboço do gráfico:
- Função suave, periódica de período
, oscilando entre (mínimos em ) e (máximos em ). - Passa por
; cresce de até em , decresce até em , e sobe até em . - Não há assíntotas; duas inflexões por período em
e , com nesses pontos.