Pras seguintes funções f(x), faça um estudo do gráfico de f. Encontre o domínio de f, os zeros de f, a interseção com o eixo y, o comportamento assintótico de f, as assíntotas verticais de f (caso existam), os pontos críticos e a variaçao de f, os pontos de inflexão e a convexidade de f. Faça um esboço detalhado do gráfico de f.
f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)},

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo do gráfico da função
f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}.
As perguntas específicas que devemos responder são:
  1. Domínio de f.
  2. Zeros de f.
  3. Interseção com o eixo y (valor em x=0).
  4. Comportamento assintótico de f (incluindo assíntotas horizontais quando existirem).
  5. Assíntotas verticais (se existirem).
  6. Pontos críticos e variação de f (intervalos de crescimento/decrescimento).
  7. Pontos de inflexão e convexidade/concavidade.
  8. Esboço detalhado do gráfico (forma, pontos notáveis e como ele se repete).
Informações dadas diretamente no enunciado:
  • A função é f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}.
  • Não há outras restrições no enunciado (logo assumimos que a figura, se tivesse, não é necessária).

Passo 2

Domínio e razão do domínio.
  • A função \operatorname{sen}(x) (seno) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • Como o expoente é \operatorname{sen}(x), que é finito para todo x, a composição está definida para todo real.
    Portanto o domínio é
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Intervalo (imagem) e por que é assim.
  • Sabemos que \operatorname{sen}(x) oscila entre -1 e 1:
-1\le \operatorname{sen}(x)\le 1.
  • Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente), obtemos
e^{-1}\le e^{\operatorname{sen}(x)}\le e^{1}.
Logo a imagem (contrange) é o intervalo fechado
\text{Im}(f)=[e^{-1},\,e].
Isso já nos diz que f é positiva para todo x e limitada.

Passo 4

Zeros de f e interseção com o eixo y.
  • Como a exponencial é sempre positiva, e^{\operatorname{sen}(x)}>0 para todo x. Portanto f não tem zeros.
  • Interseção com o eixo y é o valor em x=0. Como \operatorname{sen}(0)=0,
f(0)=e^{0}=1.
Então o ponto de interseção com o eixo y é (0,1).

Passo 5

Assíntotas e comportamento assintótico.
  • A função \operatorname{sen}(x) é periódica de período 2\pi, logo f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)} também é periódica de período 2\pi.
  • Uma função periódica e limitada não tem assíntotas horizontais no infinito (não converge para um valor único quando x\to\pm\infty), nem tem assíntotas oblíquas. Portanto não há assíntotas horizontais nem oblíquas.
  • Também não há assíntotas verticais porque f é definida e suave para todo x. Em suma:
    • Não há assíntotas verticais.
    • Não há assíntotas horizontais.
    • O comportamento assintótico é oscilatório e periódico entre e^{-1} e e.

Passo 6

Cálculo da derivada e explicação da regra usada.
  • Vamos derivar f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)} usando a regra da cadeia:
    • Derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot u'.
    • No nosso caso u(x)=\operatorname{sen}(x) e u'(x)=\operatorname{cos}(x).
  • Portanto
f'(x)=\operatorname{cos}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}.
Observação: e^{\operatorname{sen}(x)}>0 sempre, então o sinal de f'(x) é o mesmo que o sinal de \operatorname{cos}(x).

Passo 7

Pontos críticos e monotonicidade (variação).
  • Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou f' indefinida. Aqui f' é sempre definida, então resolvemos
\operatorname{cos}(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{cos}(x)=0.
  • As soluções de \operatorname{cos}(x)=0 são
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Para classificar sinal de f', como dito, é suficiente olhar o sinal de \operatorname{cos}(x):
    • \operatorname{cos}(x)>0 em intervalos \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right): aí f'\!>\!0 e f é crescente.
    • \operatorname{cos}(x)<0 em intervalos \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right): aí f'\!<\!0 e f é decrescente.
  • Assim, em cada período 2\pi, f cresce do mínimo ao máximo e depois decresce do máximo ao mínimo.

Passo 8

Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos) usando a segunda derivada.
  • Derivamos novamente f':
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cos}x\,e^{\operatorname{sen}x}\big).
Aplicando produto e cadeia:
f''(x)=(-\operatorname{sen}x)\,e^{\operatorname{sen}x}+\operatorname{cos}x\cdot e^{\operatorname{sen}x}\cdot\operatorname{cos}x.
Fatorando e^{\operatorname{sen}x} obtemos
f''(x)=e^{\operatorname{sen}x}\big(-\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}^2 x\big).
  • Em pontos críticos \operatorname{cos}x=0. Substituindo em f'',
f''\Big(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Big)=e^{\operatorname{sen}(\frac{\pi}{2}+k\pi)}\big(-\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)\big).
Agora \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)=1 e \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}+(2k+1)\pi)=-1. Portanto:
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi: \operatorname{sen}=1 e
f''=-1\cdot e^{1}=-e<0,
logo é máximo local (e na verdade máximo global por periodicidade e limites do seno).
  • Em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi (ou x=\tfrac{\pi}{2}+(2k+1)\pi): \operatorname{sen}=-1 e
f''= -(-1)\,e^{-1}=e^{-1}>0,
logo é mínimo local (e mínimo global).
  • Valores correspondentes:
    • Máximos em x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi com valor f=e^{1}=e.
    • Mínimos em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi com valor f=e^{-1}.

Passo 9

Pontos de inflexão e convexidade/concavidade.
  • Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 (e há troca de sinal). Como e^{\operatorname{sen}x}>0, basta resolver
-\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}^2 x=0.
  • Usamos \operatorname{cos}^2 x=1-\operatorname{sen}^2 x. Substituindo:
-\operatorname{sen}x + 1 - \operatorname{sen}^2 x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen}x -1=0.
  • Seja s=\operatorname{sen}x. A equação quadrática é
s^2+s-1=0.
As raízes são
s=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
A raiz viável para seno (que deve estar em [-1,1]) é
s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}618034,
a outra raiz é menor que -1 e não corresponde a nenhum seno válido.
  • Assim as abscissas dos pontos de inflexão são as soluções de \operatorname{sen}x=s:
x=\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+2k\pi.
Numericamente, com s\approx0{,}618034:
x\approx 0{,}666239+2k\pi\quad\text{e}\quad x\approx 2{,}475354+2k\pi.
  • Valor de f nesses pontos:
f=\exp\!\left(\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\approx e^{0{,}618034}\approx 1{,}855.
  • Convexidade/concavidade (sinal de f''):
    • Lembre que f''(x)=e^{\operatorname{sen}x}\big(1-\operatorname{sen}^2 x-\operatorname{sen}x\big).
    • A função muda de convexidade quando \operatorname{sen}x passa pelo valor s=\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}.
    • Como a expressão s^2+s-1 é negativa para s entre as raízes (-1{,}618\ldots,\,0{,}618\ldots), e como multiplicamos por -1 para obter f'', concluímos:
      • f''(x)>0 (função convexa para cima) quando \operatorname{sen}x<\tfrac{\sqrt{5}-1}{2} — isto ocorre em grande parte da janela do seno.
      • f''(x)<0 (função côncava para baixo) quando \operatorname{sen}x>\tfrac{\sqrt{5}-1}{2} — isto ocorre em pequenos arcos ao redor do topo do seno.
    • Em cada período há exatamente duas inflexões (as duas abscissas encontradas) separando regiões convexas e côncavas.

Passo 10

Propriedades adicionais úteis para o esboço (simetrias e periodicidade).
  • Periodicidade: f(x+2\pi)=f(x).
  • Relação simétrica interessante:
f(-x)=e^{\operatorname{sen}(-x)}=e^{-\operatorname{sen}x}=\frac{1}{e^{\operatorname{sen}x}}=\frac{1}{f(x)}.
Isso significa f(x)f(-x)=1. Não é par nem ímpar, mas tem essa simetria recíproca.
  • Pontos notáveis por período 0 a 2\pi:
    • x=0,\; f(0)=1.
    • x=\tfrac{\pi}{2},\; f(\tfrac{\pi}{2})=e (máximo).
    • x=\pi,\; f(\pi)=1.
    • x=\tfrac{3\pi}{2},\; f(\tfrac{3\pi}{2})=e^{-1} (mínimo).
    • x=2\pi,\; f(2\pi)=1.
  • Entre 0 e \tfrac{\pi}{2} a função cresce de 1 até e; entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} decresce de e até e^{-1}; entre \tfrac{3\pi}{2} e 2\pi cresce de e^{-1} até 1.

Passo 11

Esboço detalhado do gráfico (descrição que permite desenhar sem figura).
  • Eixo x: marque os pontos 0,\;\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}571,\;\pi\approx3{,}142,\;\tfrac{3\pi}{2}\approx4{,}712,\;2\pi\approx6{,}283.
  • Eixo y: marque e^{-1}\approx0{,}3679,\;1,\;e\approx2{,}718.
  • Em x=0 o ponto é (0,1). Suba suavemente até (\tfrac{\pi}{2},e), com curvatura que é inicialmente convexa até a primeira inflexão em x\approx0{,}666 (onde f\approx1{,}855); depois entre essa inflexão e \tfrac{\pi}{2} a curva fica côncava, atingindo o pico e.
  • Depois do máximo em \tfrac{\pi}{2}, a curva desce passando por x\approx2{,}475 (segunda inflexão do período, onde f\approx1{,}855 novamente), e segue até o mínimo em (\tfrac{3\pi}{2},e^{-1}).
  • A partir do mínimo, a curva sobe de novo até (2\pi,1), repetindo o padrão a cada 2\pi.
  • Não há rupturas ou assíntotas; o gráfico é suave (infinitamente diferenciável), periódico e contido entre as duas retas horizontais y=e^{-1} e y=e.
  • Dica prática para desenhar: desenhe uma onda senoidal na vertical transformada exponencialmente — os picos serão “esticados” para e e os vales “comprimidos” para e^{-1}, e entre esses pontos preste atenção às duas inflexões por período (uma antes e outra depois do pico).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Zeros: nenhum.
Interseção com o eixo y: f(0)=1 (ponto (0,1)).
Imagem (intervalo de valores): [e^{-1},\,e].
Assíntotas horizontais/verticais/obliquas: não existem; comportamento assintótico é periódico e oscilatório entre e^{-1} e e.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Derivada: f'(x)=\operatorname{cos}x\,e^{\operatorname{sen}x}.
Pontos críticos: x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
  • Máximos em x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi com valor f=e (máximo global).
  • Mínimos em x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi com valor f=e^{-1} (mínimo global).
Monotonicidade:
  • Crescente em \left(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right).
  • Decrescente em \left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right).
Segunda derivada: f''(x)=e^{\operatorname{sen}x}\big(-\operatorname{sen}x+\operatorname{cos}^2 x\big).
Pontos de inflexão: soluções de \operatorname{sen}x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}, i.e.
x=\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+2k\pi,
aproximadamente x\approx 0{,}666239+2k\pi e x\approx 2{,}475354+2k\pi. Nesses pontos f\approx e^{0{,}618034}\approx 1{,}855.
Convexidade/concavidade:
  • f é convexa (côncava para cima, f''>0) quando \operatorname{sen}x<\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} (intervalos correspondentes por período).
  • f é côncava (côncava para baixo, f''<0) quando \operatorname{sen}x>\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} (pequenos arcos ao redor do pico).
Periodicidade e simetria:
  • Período 2\pi.
  • Relação f(-x)=\dfrac{1}{f(x)} (ou seja f(x)f(-x)=1).
Esboço do gráfico:
  • Função suave, periódica de período 2\pi, oscilando entre y=e^{-1} (mínimos em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi) e y=e (máximos em x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi).
  • Passa por (0,1),(\pi,1),(2\pi,1); cresce de 1 até e em [0,\tfrac{\pi}{2}], decresce até e^{-1} em [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}], e sobe até 1 em [\tfrac{3\pi}{2},2\pi].
  • Não há assíntotas; duas inflexões por período em x\approx0{,}666+2k\pi e x\approx2{,}475+2k\pi, com f\approx1{,}855 nesses pontos.

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