Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semi-cúbica y^{2}=x^{3} e a reta y=x,
(a) integrando primeiro em relação a x;
(b) integrando primeiro em relação a y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano que fica acima do eixo x (ou seja, com y\ge 0), limitada pelas duas curvas
y^{2}=x^{3}
e
y=x.
Precisamos calcular essa área por dupla integração de duas maneiras distintas:
(a) integrando primeiro em relação a x (ou seja, integral iterada com dx no interior);\n
(b) integrando primeiro em relação a y (ou seja, integral iterada com dy no interior).\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as equações das curvas que limitam a região e a restrição que a região está acima do eixo x. A partir disso vamos determinar onde as curvas se interceptam, qual é a curva superior e qual é a inferior na região de interesse, e então montar as integrais iteradas correspondentes.

Passo 2

Encontrar interseções e entender a forma da região.\n
Para achar os pontos de interseção entre as curvas, substituímos y=x em y^{2}=x^{3}. Isso dá
x^{2}=x^{3}.
Agora resolvemos essa equação: fatorando,
x^{2}(1-x)=0,
logo as soluções são x=0 e x=1. Correspondentemente, como y=x, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).\n
A partir desses pontos e da condição y\ge 0, a região de interesse está para 0\le x\le 1. Para cada x nesse intervalo, as duas curvas fornecem as ordens de y:
y_{\text{curva}}=x^{3/2}\quad(\text{da equação }y^{2}=x^{3},\\ y\ge0)çã
e
y_{\text{reta}}=x.
Para 0<x<1 temos \sqrt{x}<1, então x^{3/2}=x\sqrt{x}<x. Portanto, no intervalo 0<x<1 a reta y=x fica acima da semi-cúbica y=x^{3/2}. Isso significa que, para uma dada abscissa x entre 0 e 1, o segmento vertical dentro da região vai de y=x^{3/2} (inferior) até y=x (superior). Vamos usar isso para montar as integrais.

Passo 3

A ideia do método: área de uma região R pode ser escrita como
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA,Á
e, em coordenadas cartesianas, podemos escrever essa dupla integral como uma integral iterada. Vou montar as duas ordens pedidas.\n
Primeiro, preparar a integral integrada primeiro em x (isto é, dx internamente). Para isso precisamos expressar os limites de x em função de y.\n
Das curvas temos, isolando x em termos de y:
y^{2}=x^{3}\Rightarrow x=y^{2/3},
e a reta dá x=y.\n
Para um valor fixo de y entre 0 e 1, os x que pertencem à região vão do menor valor x=y até o maior valor x=y^{2/3}. (Pode-se verificar que para 0\le y\le 1 temos y\le y^{2/3}.)\n
Portanto a integral com dx interno é
\text{Área}=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y}^{x=y^{2/3}} dx\right) dy.Á
Agora calculamos: a integral interna em x é simples,
\int_{x=y}^{x=y^{2/3}} dx = y^{2/3}-y.
Restando integrar em y de 0 a 1:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(y^{2/3}-y\bigr)\,dy.Á
Vou integrar termo a termo usando a fórmula básica de potência:
\int y^{\alpha}\,dy=\frac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\neq -1).
Aplicando:
\int_{0}^{1} y^{2/3}\,dy=\left[\frac{y^{5/3}}{5/3}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{5},
\int_{0}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Subtraindo os resultados (mostrando o cálculo):
\text{Área}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}.Á

Passo 4

Agora fazer a integral integrada primeiro em y (isto é, dy internamente). Já vimos no Passo 2 que, para um x fixo em 0\le x\le 1, o y varia de y=x^{3/2} (inferior) até y=x (superior). Assim a integral é
\text{Área}=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{3/2}}^{y=x} dy\right) dx.Á
A integral interna em y
\int_{y=x^{3/2}}^{y=x} dy = x - x^{3/2}.
Portanto
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{3/2}\bigr)\,dx.Á
Agora integramos termo a termo com a mesma regra de potências:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx=\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{5}.
Subtraindo os resultados:
\text{Área}=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}.Á

Resposta

\dfrac{1}{10}

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