Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo
, limitada pela parábola semi-cúbica
e a reta
,
(a) integrando primeiro em relação a
;
(b) integrando primeiro em relação a
.
(a) integrando primeiro em relação a
(b) integrando primeiro em relação a
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano que fica acima do eixo
(ou seja, com
), limitada pelas duas curvas
e
Precisamos calcular essa área por dupla integração de duas maneiras distintas:
(a) integrando primeiro em relação a (ou seja, integral iterada com
no interior);\n
(b) integrando primeiro em relação a (ou seja, integral iterada com
no interior).\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as equações das curvas que limitam a região e a restrição que a região está acima do eixo . A partir disso vamos determinar onde as curvas se interceptam, qual é a curva superior e qual é a inferior na região de interesse, e então montar as integrais iteradas correspondentes.
(a) integrando primeiro em relação a
(b) integrando primeiro em relação a
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as equações das curvas que limitam a região e a restrição que a região está acima do eixo
Passo 2
Encontrar interseções e entender a forma da região.\n
Para achar os pontos de interseção entre as curvas, substituímos em
. Isso dá
Para achar os pontos de interseção entre as curvas, substituímos
Agora resolvemos essa equação: fatorando,
logo as soluções são
e
. Correspondentemente, como
, os pontos de interseção são
e
.\n
A partir desses pontos e da condição , a região de interesse está para
. Para cada
nesse intervalo, as duas curvas fornecem as ordens de
:
A partir desses pontos e da condição
e
Para
temos
, então
. Portanto, no intervalo
a reta
fica acima da semi-cúbica
. Isso significa que, para uma dada abscissa
entre
e
, o segmento vertical dentro da região vai de
(inferior) até
(superior). Vamos usar isso para montar as integrais.
Passo 3
A ideia do método: área de uma região
pode ser escrita como
e, em coordenadas cartesianas, podemos escrever essa dupla integral como uma integral iterada. Vou montar as duas ordens pedidas.\n
Primeiro, preparar a integral integrada primeiro em (isto é,
internamente). Para isso precisamos expressar os limites de
em função de
.\n
Das curvas temos, isolando em termos de
:
Primeiro, preparar a integral integrada primeiro em
Das curvas temos, isolando
e a reta dá
.\n
Para um valor fixo de entre
e
, os
que pertencem à região vão do menor valor
até o maior valor
. (Pode-se verificar que para
temos
.)\n
Portanto a integral com interno é
Para um valor fixo de
Portanto a integral com
Agora calculamos: a integral interna em
é simples,
Restando integrar em
de
a
:
Vou integrar termo a termo usando a fórmula básica de potência:
Aplicando:
Subtraindo os resultados (mostrando o cálculo):
Passo 4
Agora fazer a integral integrada primeiro em
(isto é,
internamente). Já vimos no Passo 2 que, para um
fixo em
, o
varia de
(inferior) até
(superior). Assim a integral é
A integral interna em
dá
Portanto
Agora integramos termo a termo com a mesma regra de potências:
Subtraindo os resultados: