Calcule o volume do sólido que é imagem de uma bola de raio a pela transformação linear representada pela matriz \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 7\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que é a imagem por uma transformação linear de uma bola (esfera cheia) de raio a. As informações dadas são:
Precisamos encontrar o volume do sólido A(B), onde B é a bola de raio a centrada na origem.
Vou resolver passo a passo: primeiro lembro o volume da bola, depois explico como transformações lineares afetam volumes, calculo o determinante de A e finalmente obtenho o volume pedido.]
Passo 2
Qual é o volume da bola de raio a antes da transformação? Vou lembrar e justificar a fórmula conhecida.
A expressão conhecida para o volume da bola de raio a em \mathbb{R}^3 é
V_{\text{bola}} = \frac{4}{3}\pi a^3.
Uma maneira simples de entender isso é usando cascas esféricas: pense na bola como empilhamento de camadas esféricas finas. A área de uma esfera de raio r é 4\pi r^2. Uma camada de espessura infinitesimal dr tem volume aproximadamente 4\pi r^2\,dr. Integrando r de 0 até a obtemos
Pronto: essa é a fórmula que usaremos para o volume inicial.
Passo 3
Como uma transformação linear afeta volumes? Aqui entra o papel do determinante.
Fato importante (teorema): para uma transformação linear T representada por matriz A em \mathbb{R}^3, o volume de qualquer sólido mensurável é multiplicado por |\det A| quando aplicado T. Em símbolos, se S é um sólido com volume V(S), então o volume de T(S) é
V(T(S)) = |\det A| \cdot V(S).
Por que isso é verdade (intuição e esqueleto da prova):
Para um paralelepípedo cujas arestas são vetores v_1,v_2,v_3, o volume é |\det [v_1\; v_2\; v_3]|.
Aplicando A aos vetores, as arestas viram Av_1,Av_2,Av_3. O paralelepípedo transformado tem volume |\det [Av_1\; Av_2\; Av_3]|.
Usando propriedades do determinante, \det [Av_1\; Av_2\; Av_3] = \det(A)\det [v_1\; v_2\; v_3]. Assim o volume do paralelepípedo é multiplicado por |\det A|.
Qualquer sólido mensurável pode ser aproximado por união de paralelepípedos pequenos; levando o limite, a escala pelo determinante persiste para volumes gerais.
Então, para nossa bola B,
V(A(B)) = |\det A| \cdot V(B).
Passo 4
Agora computamos o determinante da matriz dada. A matriz é
Observação: essa é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso decorre da definição do determinante ou de expansão por cofatores em ordem adequada.
Portanto,
\det A = 1 \cdot 2 \cdot 7 = 14.
E o fator de escala em volume é |\det A| = |14| = 14.]
Passo 5
Agora aplicamos a regra do passo 3: o volume da imagem é 14 vezes o volume da bola original.
O volume original é \dfrac{4}{3}\pi a^3 (do passo 2). Logo