Achar o volume do sólido limitado superiormente pela superficie z=11+x^2+y^2, inferiormente pelo plano x y e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pela superfície z=11+x^2+y^2, abaixo pelo plano z=0 (plano xy) e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1. O conteúdo principal aqui é cálculo de volume via integral dupla e uso de coordenadas polares.

Passo 2

Para calcular o volume, usamos a fórmula
V=integral duplaD l(ztopo-zfundor),dA
No nosso caso, ztopo=11+x^2+y^2 e zfundo=0, então
V=integral duplaD 11+x^2+y^2,dA

Passo 3

Como a região D é o disco x^2+y^2<=1, passamos para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Assim,
V=integral0^2piintegral0^1 r1+r^2,dr,dtheta

Passo 4

Agora fazemos a integral em r:
integral0^1 r1+r^2,dr
Fazendo a substituição u=1+r^2, du=2r,dr, temos
integral0^1 r1+r^2,dr = 12 integralu=1^2 1u,du = 12[ln u]1^2 = 12ln2

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
V = integral0^2pi l(tfrac12ln2r) ,dtheta = 2pi cdot 12ln2 = piln2

Resposta

piln2

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