Calcule a integral de linha
integralC y d x+x d y ao longo da curva parametrizada x=t^2, y=t^3 com 1 <= t <= 5.

Passo 1

No enunciado, queremos calcular a integral de linha
integralCy,dx + x,dy
ao longo da curva dada por x=t^2, y=t^3, com t variando de 1 a 5. Esse tipo de problema envolve integrais de linha de 1-formas diferenciais, e para resolver a gente precisa usar a parametrização da curva e expressar dx e dy em função de dt.

Passo 2

Na parametrização x(t)=t^2, y(t)=t^3 calculamos as derivadas:
dxdt=2t, dydt=3t^2
Logo
dx=2t,dt, dy=3t^2,dt
Substituindo na integral original a gente tem
y,dx + x,dy = t^3cdot(2t,dt) + t^2cdot(3t^2,dt) = 2t^4,dt + 3t^4,dt = 5t^4,dt

Passo 3

A integral de linha então vira
integralCy,dx + x,dy = integralt=1^55t^4,dt
Para calcular:
5integral1^5t^4,dt = 5[t^55]1^5 = l[t^5r]1^5 = 5^5 - 1^5 = 3125 - 1 = 3124

Resposta

3124

Exercícios relacionados