Achar o volume do tetraedro de vêrtice (2,1,5) e cuja base é o triângulo de vêrtices (2,-1,1),(1,-1,1) e (1,2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro cujo vértice “apontado” é
D = (2,1,5)
e cuja base é o triângulo de vértices
A = (2,-1,1), B = (1,-1,1), C = (1,2,3)
Para achar o volume, usamos o produto misto (ou triplo escalar) de três vetores que partem de um mesmo vértice e a fórmula do volume de um tetraedro em R^3:
V = l|det(AB,,AC,,AD)r|6

Passo 2

Vamos calcular os vetores
AB = B - A, AC = C - A, AD = D - A
Subtraindo coordenada a coordenada, obtemos
AB = (1-2,;-1+1,;1-1) = (-1,,0,,0),
AC = (1-2,;2+1,;3-1) = (-1,,3,,2),
AD = (2-2,;1+1,;5-1) = (0,,2,,4)

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
M = -1 & -1 & 0 0 & 3 & 2 0 & 2 & 4 ,
det(M) = -1,(3cdot4 - 2cdot2);-;(-1),(0cdot4 - 2cdot0);+;0,(0cdot2 - 3cdot0)

Passo 4

Calculemos cada parte:
3cdot4 - 2cdot2 = 12 - 4 = 8,
0cdot4 - 2cdot0 = 0
Logo
det(M) = -1cdot8 - (-1)cdot0 + 0 = -8

Passo 5

O valor absoluto do determinante é l|det(M)r|=8. Assim o volume do tetraedro é
V = 86 = 43

Resposta

43

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