Realizar um estudo completo das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
que é um polinômio de grau 3. Vamos determinar domínio e imagem, paridade, interceptos, limites no infinito, derivadas, monotonicidade, concavidade, pontos críticos e de inflexão, e comentar o gráfico qualitativo.
Passo 2
Como é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais e a imagem também é todo
.
Domínio: .
Imagem: .
Domínio:
Imagem:
Passo 3
Verificamos a paridade calculando
logo
é função ímpar e simétrica em relação à origem.
Passo 4
Analisamos os limites no infinito. Como o termo dominante é
, temos
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois o valor cresce sem limites.
Passo 5
Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
Resolvendo
obtemos o único ponto crítico
. Como
para todo
e só zera em
, a função é estritamente crescente em
(não há máximos nem mínimos locais).
Passo 6
Para concavidade, obtemos a derivada segunda:
Logo para
temos
(concavidade para baixo) e para
temos
(concavidade para cima). Em
ocorre ponto de inflexão.
Passo 7
Interceptos com os eixos:
– Eixo : resolvemos
, dá
.
– Eixo :
.
Portanto o único ponto de interseção é a origem , que também é ponto de inflexão e ponto crítico.
– Eixo
– Eixo
Portanto o único ponto de interseção é a origem
Passo 8
Resumo qualitativo do gráfico: função em “S” simétrica na origem, estritamente crescente, com ponto de inflexão e tangente horizontal em
, concavidade invertida em
, e que cresce para
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: ímpar (simetria central)
Intercepto: único em
Limites:
Derivada: , crescente em
, ponto crítico em
sem extremum
Segunda derivada: , concava para baixo em
, concava para cima em
, inflexão em
Gráfico: curva cúbica em “S”, tangente horizontal na origem, sem assíntotas.
Imagem:
Paridade: ímpar (simetria central)
Intercepto: único em
Limites:
Derivada:
Segunda derivada:
Gráfico: curva cúbica em “S”, tangente horizontal na origem, sem assíntotas.