Realizar um estudo completo das funções a seguir.
f(x)=x^32

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=x^32,
que é um polinômio de grau 3. Vamos determinar domínio e imagem, paridade, interceptos, limites no infinito, derivadas, monotonicidade, concavidade, pontos críticos e de inflexão, e comentar o gráfico qualitativo.

Passo 2

Como é um polinômio, o domínio é todo o conjunto dos números reais e a imagem também é todo R.
Domínio: R.
Imagem: R.

Passo 3

Verificamos a paridade calculando
f(-x)=(-x)^32=-x^32=-f(x),
logo f é função ímpar e simétrica em relação à origem.

Passo 4

Analisamos os limites no infinito. Como o termo dominante é x^3, temos
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois o valor cresce sem limites.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
f'(x)=ddxl(x^32r)=3x^22
Resolvendo f'(x)=0 obtemos o único ponto crítico x=0. Como f'(x)>=0 para todo x e só zera em 0, a função é estritamente crescente em R (não há máximos nem mínimos locais).

Passo 6

Para concavidade, obtemos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(3x^22r)=3x
Logo para x<0 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>0 temos f''(x)>0 (concavidade para cima). Em x=0 ocorre ponto de inflexão.

Passo 7

Interceptos com os eixos:
– Eixo x: resolvemos f(x)=0, dá x=0.
– Eixo y: f(0)=0.
Portanto o único ponto de interseção é a origem (0,0), que também é ponto de inflexão e ponto crítico.

Passo 8

Resumo qualitativo do gráfico: função em “S” simétrica na origem, estritamente crescente, com ponto de inflexão e tangente horizontal em (0,0), concavidade invertida em x=0, e que cresce para pminfty.

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Paridade: ímpar (simetria central)
Intercepto: único em (0,0)
Limites: limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Derivada: f'(x)=tfrac3x^22, crescente em R, ponto crítico em x=0 sem extremum
Segunda derivada: f''(x)=3x, concava para baixo em x<0, concava para cima em x>0, inflexão em (0,0)
Gráfico: curva cúbica em “S”, tangente horizontal na origem, sem assíntotas.

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