Achar x inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências:
\left\{\begin{array}{l}x \equiv 2(\bmod 5) \\\\ 3 x \equiv 1(\bmod 8)\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado pede um inteiro x que satisfaça o sistema de congruências
\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5},\\\\ 3x \equiv 1 \pmod{8}. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de congruências lineares e aplicação do Teorema Chinês dos Restos. Vamos precisar encontrar inversos modulares e depois combinar as soluções.

Passo 2

Começamos pela segunda congruência
3x \equiv 1 \pmod{8}.
O inverso de 3 módulo 8 é 3, pois
3\cdot3=9\equiv1\pmod{8}.
Multiplicando ambos os lados por esse inverso, obtemos
x \equiv 3\cdot1=3\pmod{8}.

Passo 3

Da primeira congruência temos
x\equiv2\pmod{5}\quad\Longrightarrow\quad x=5k+2
para algum inteiro k. Substituindo na solução x\equiv3\pmod8, vem
5k+2\equiv3\pmod{8} \quad\Longrightarrow\quad 5k\equiv1\pmod{8}.
O inverso de 5 módulo 8 é 5 (pois 5\cdot5=25\equiv1\pmod8), logo
k\equiv5\cdot1=5\pmod{8}.

Passo 4

Como k=8t+5 para t\in\mathbb{Z}, substituímos em x=5k+2:
x=5(8t+5)+2=40t+25+2=40t+27.
Assim todas as soluções são dadas por
x\equiv27\pmod{40}.

Resposta

\displaystyle x\equiv27\pmod{40}

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