Achar x inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências: \left\{\begin{array}{l}x \equiv 2(\bmod 5) \\\\ 3 x \equiv 1(\bmod 8)\end{array}\right.;
Passo 1
O enunciado pede um inteiro x que satisfaça o sistema de congruências
\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5},\\\\ 3x \equiv 1 \pmod{8}. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de congruências lineares e aplicação do Teorema Chinês dos Restos. Vamos precisar encontrar inversos modulares e depois combinar as soluções.
Passo 2
Começamos pela segunda congruência
3x \equiv 1 \pmod{8}.
O inverso de 3 módulo 8 é 3, pois
3\cdot3=9\equiv1\pmod{8}.
Multiplicando ambos os lados por esse inverso, obtemos
x \equiv 3\cdot1=3\pmod{8}.
Passo 3
Da primeira congruência temos
x\equiv2\pmod{5}\quad\Longrightarrow\quad x=5k+2
para algum inteiro k. Substituindo na solução x\equiv3\pmod8, vem