Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas definida por
e pede que identifiquemos o tipo de superfície, obtenhamos sua forma reduzida (canônica) e façamos um esboço. Vamos precisar usar o método de completar quadrado para cada variável e, em seguida, reconhecer o sinal de cada termo para classificar a quádricas.
Passo 2
Agrupamos os termos em
,
e
e completamos o quadrado:
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Somamos as constantes
, de modo que a equação fica
Dividindo tudo por
, obtemos a forma reduzida:
Passo 4
Na forma
temos dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é a direção associada à variável que tem sinal negativo, ou seja, o eixo paralelo ao eixo
. O centro da superfície é o ponto
Passo 5
Para esboçar, note que:
- Cortes por planos
(constante) dão elipses centradas em no plano . - Cortes por planos
ou dão hipérboles.
O hiperbolóide de uma folha se estende indefinidamente ao longo de
, passando pelo centro
. Ao desenhar, marcamos
, tracejamos o eixo no sentido de
, e desenhamos algumas elipses para valores de
acima e abaixo de
.
Resposta
Tipo de superfície: hiperbolóide de uma folha.
Equação reduzida:
Equação reduzida: