Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
4 x^{2}-2 y^{2}+z^{2}-24 x-4 y+8 z+42=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas definida por
4x^{2}-2y^{2}+z^{2}-24x-4y+8z+42=0
e pede que identifiquemos o tipo de superfície, obtenhamos sua forma reduzida (canônica) e façamos um esboço. Vamos precisar usar o método de completar quadrado para cada variável e, em seguida, reconhecer o sinal de cada termo para classificar a quádricas.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z e completamos o quadrado:
Para x:
4x^{2}-24x = 4\bigl(x^{2}-6x\bigr) =4\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) =4(x-3)^{2}-36.
Para y:
-2y^{2}-4y = -2\bigl(y^{2}+2y\bigr) =-2\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) =-2(y+1)^{2}+2.
Para z:
z^{2}+8z = (z+4)^{2}-16.
Substituindo na equação original:
4(x-3)^{2}-36 \;+\;-2(y+1)^{2}+2 \;+\;(z+4)^{2}-16 \;+\;42 = 0.

Passo 3

Somamos as constantes -36 +2 -16 +42 = -8, de modo que a equação fica
4(x-3)^{2} \;-\;2(y+1)^{2} \;+\;(z+4)^{2} \;-\;8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}+(z+4)^{2}=8.
Dividindo tudo por 8, obtemos a forma reduzida:
\frac{(x-3)^{2}}{2} \;-\; \frac{(y+1)^{2}}{4} \;+\; \frac{(z+4)^{2}}{8} \;=\;1.

Passo 4

Na forma
\frac{(x-3)^{2}}{2} \;+\; \frac{(z+4)^{2}}{8} \;-\; \frac{(y+1)^{2}}{4} \;=\;1
temos dois termos positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é a direção associada à variável que tem sinal negativo, ou seja, o eixo paralelo ao eixo y. O centro da superfície é o ponto
C=(3,\,-1,\,-4).

Passo 5

Para esboçar, note que:
  1. Cortes por planos y=k (constante) dão elipses centradas em (3,-4) no plano xz.
  2. Cortes por planos x=3 ou z=-4 dão hipérboles.
O hiperbolóide de uma folha se estende indefinidamente ao longo de y, passando pelo centro C. Ao desenhar, marcamos C, tracejamos o eixo no sentido de y, e desenhamos algumas elipses para valores de y acima e abaixo de -1.

Resposta

Tipo de superfície: hiperbolóide de uma folha.
Equação reduzida:
\frac{(x-3)^{2}}{2} \;-\; \frac{(y+1)^{2}}{4} \;+\; \frac{(z+4)^{2}}{8} \;=\;1.

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