Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida por
e pede (i) o tipo de superfície, (ii) a equação reduzida e (iii) um esboço. Vamos usar o método de completar quadrados para reduzir a equação e, em seguida, identificar o tipo de quadric.
Passo 2
Agrupamos os termos em
,
e
, e completamos o quadrado em
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Isolamos as parcelas quadráticas:
e dividimos ambos os lados por
:
Reescrevendo em ordem canônica:
Passo 4
A equação
tem um só termo positivo (
) e dois termos negativos (
). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixos principais ao longo de
e deslocado na direção de
de modo que o centro geométrico fica na reta
.
Passo 5
Para entender o formato e esboçar, note:
- Seções transversais em
fixo dão
Para
não há solução real (lacuna central). Para
surgem elipses, uma para cada folha (
e
).
2. Os vértices estão em e
.
3. O eixo central é o eixo , deslocado para
.
2. Os vértices estão em
3. O eixo central é o eixo
Esboço: imagine duas “tigelas” elípticas invertidas, separadas por um “vão” para
, com centros em
e
.
Resposta
Tipo de superfície: hiperbolóide de duas folhas.
Equação reduzida:
Equação reduzida:
Esboço: duas folhas elípticas centradas em
e
, formando um hiperbolóide de duas folhas ao longo de
.