Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
2 x^{2}+y^{2}-4 z^{2}+2 y+5=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida por
2x^{2}+y^{2}-4z^{2}+2y+5=0
e pede (i) o tipo de superfície, (ii) a equação reduzida e (iii) um esboço. Vamos usar o método de completar quadrados para reduzir a equação e, em seguida, identificar o tipo de quadric.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z, e completamos o quadrado em y:
y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.
Substituindo na equação original:
2x^{2} + \bigl((y+1)^{2}-1\bigr) -4z^{2} +5 = 0
2x^{2} + (y+1)^{2} -4z^{2} +4 = 0.

Passo 3

Isolamos as parcelas quadráticas:
2x^{2} + (y+1)^{2} -4z^{2} = -4
e dividimos ambos os lados por -4:
-\frac{2x^{2}}{4} - \frac{(y+1)^{2}}{4} + \frac{4z^{2}}{4} = 1
-\frac{x^{2}}{2} - \frac{(y+1)^{2}}{4} + z^{2} = 1.
Reescrevendo em ordem canônica:
\frac{z^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{(y+1)^{2}}{4} = 1.

Passo 4

A equação
\frac{z^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{(y+1)^{2}}{4} = 1
tem um só termo positivo ( z^{2}) e dois termos negativos ( x^{2},(y+1)^{2}). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixos principais ao longo de z e deslocado na direção de y de modo que o centro geométrico fica na reta (0,-1,z).

Passo 5

Para entender o formato e esboçar, note:
  1. Seções transversais em z=k fixo dão
\frac{k^{2}}{1} - 1 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{(y+1)^{2}}{4}.
Para \lvert k\rvert<1 não há solução real (lacuna central). Para \lvert k\rvert>1 surgem elipses, uma para cada folha ( k>1 e k<-1).
2. Os vértices estão em (0,-1,1) e (0,-1,-1).
3. O eixo central é o eixo z, deslocado para y=-1.
Esboço: imagine duas “tigelas” elípticas invertidas, separadas por um “vão” para \lvert z\rvert<1, com centros em (0,-1,1) e (0,-1,-1).

Resposta

Tipo de superfície: hiperbolóide de duas folhas.
Equação reduzida:
\frac{z^{2}}{1} \;-\;\frac{x^{2}}{2}\;-\;\frac{(y+1)^{2}}{4}\;=\;1.
Esboço: duas folhas elípticas centradas em (0,-1,1) e (0,-1,-1), formando um hiperbolóide de duas folhas ao longo de z.

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