Se os vetores
são ortonormais, mostre que são também linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um conjunto ortonormal em um espaço com produto interno. Vamos mostrar que qualquer combinação linear nula desses vetores só ocorre quando todos os coeficientes são zero, o que prova independência linear.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam escalares
tais que
Passo 3
Fazemos o produto interno dessa igualdade com
. Pela linearidade e ortonormalidade,
Como o lado direito da combinação é o vetor zero, seu produto interno com
é zero. Logo
.
Passo 4
Análogo, fazemos o produto interno de
com
:
implicando
.
Passo 5
De forma idêntica, inner com
dá
logo
.
Passo 6
Concluímos que a única solução da combinação
é
. Portanto,
é um conjunto linearmente independente.
Resposta
Como mostramos que todos os coeficientes devem ser zero, segue que os vetores são linearmente independentes.