Se os vetores \{u, v, w) são ortonormais, mostre que são também linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado afirma que \{u,v,w\} é um conjunto ortonormal em um espaço com produto interno. Vamos mostrar que qualquer combinação linear nula desses vetores só ocorre quando todos os coeficientes são zero, o que prova independência linear.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam escalares a,b,c tais que
a\,u + b\,v + c\,w = 0.

Passo 3

Fazemos o produto interno dessa igualdade com u. Pela linearidade e ortonormalidade,
\langle a\,u + b\,v + c\,w,\;u\rangle = a\langle u,u\rangle + b\langle v,u\rangle + c\langle w,u\rangle = a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot0 = a.
Como o lado direito da combinação é o vetor zero, seu produto interno com u é zero. Logo a=0.

Passo 4

Análogo, fazemos o produto interno de a\,u + b\,v + c\,w=0 com v:
\langle a\,u + b\,v + c\,w,\;v\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle v,v\rangle + c\langle w,v\rangle = 0 + b\cdot1 + 0 = b,
implicando b=0.

Passo 5

De forma idêntica, inner com w
\langle a\,u + b\,v + c\,w,\;w\rangle = c\langle w,w\rangle = c\cdot1 = c,
logo c=0.

Passo 6

Concluímos que a única solução da combinação a\,u+b\,v+c\,w=0 é a=b=c=0. Portanto, \{u,v,w\} é um conjunto linearmente independente.

Resposta

Como mostramos que todos os coeficientes devem ser zero, segue que os vetores são linearmente independentes.

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