Para todo número natural n , prove que a norma do vetor
é um número natural.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o vetor
tem norma (euclidiana) que é número natural. Vamos usar a definição de norma de um vetor em
e manipular a expressão até reconhecer um quadrado perfeito.
Passo 2
A norma euclidiana de um vetor
em
é
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Primeiro calculamos o quadrado da norma:
Passo 4
Agora expandimos cada termo isoladamente:
Somando tudo:
Passo 5
Reconhecemos que esse polinômio é exatamente o quadrado de
, pois
Logo
Passo 6
Como a norma
é a raiz quadrada de
, temos
E, para todo
,
é naturalmente um número natural.