Para todo número natural n , prove que a norma do vetor v=(n, n+1, n(n+1)) é um número natural.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o vetor
v = \bigl(n,\;n+1,\;n(n+1)\bigr)
tem norma (euclidiana) que é número natural. Vamos usar a definição de norma de um vetor em \mathbb{R}^3 e manipular a expressão até reconhecer um quadrado perfeito.

Passo 2

A norma euclidiana de um vetor v=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é
\|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\,.
No nosso caso, v_1 = n, v_2 = n+1 e v_3 = n(n+1).

Passo 3

Primeiro calculamos o quadrado da norma:
\|v\|^2 = n^2 + (n+1)^2 + \bigl(n(n+1)\bigr)^2.

Passo 4

Agora expandimos cada termo isoladamente:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1,
\bigl(n(n+1)\bigr)^2 = \bigl(n^2 + n\bigr)^2 = n^4 + 2n^3 + n^2.
Somando tudo:
\|v\|^2 = n^2 + \bigl(n^2 + 2n + 1\bigr) + \bigl(n^4 + 2n^3 + n^2\bigr) = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.

Passo 5

Reconhecemos que esse polinômio é exatamente o quadrado de n^2 + n + 1, pois
(n^2 + n + 1)^2 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.
Logo
\|v\|^2 = \bigl(n^2 + n + 1\bigr)^2.

Passo 6

Como a norma \|v\| é a raiz quadrada de \|v\|^2, temos
\|v\| = n^2 + n + 1.
E, para todo n\in\mathbb{N}, n^2+n+1 é naturalmente um número natural.

Resposta

\displaystyle \|v\| = n^2 + n + 1, que pertence a \mathbb{N}.

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