Questão 1 [2,5]
Considere o polinômio
e a função real
Q1(a)
Responda quais são as possíveis raízes racionais de
. Encontre as raízes de
. Mostre como encontrou as raízes, apresentando as contas que foram feitas para isso.
Q1(b)
Fatore esse polinômio em
, isto é, escreva
como um produto de fatores lineares (tipo
) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo
, que não possui raízes reais). Justifique sua fatoração, apresente as contas que o levou à fatoração apresentada. Sem isso, o item não será considerado.
Q1(c)
Encontre o domínio da função
. Justifique deixando escritas as contas para chegar nas respostas! Responda o domínio na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede em (a) as possíveis raízes racionais e as raízes efetivas de
; em (b) a fatoração de
em
; e em (c) o domínio da função
Para isso vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, divisões sintéticas e um estudo de sinal para o domínio de
.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais de
são da forma
São essas as possíveis raízes a testar.
Passo 3
Testamos diretamente:
Logo, as raízes racionais de fato são
e
.
Passo 4
Fazendo divisão sintética de
por
obtemos o quociente
Dividindo este por
surge o quociente
Assim
Reagrupando
, temos a fatoração
Passo 5
Note que o discriminante de
é
, logo esse fator é irredutível em
.
Passo 6
Para o domínio de
precisamos de
e
Como
e
sempre, o sinal de
é o mesmo de
, que é
positivo em e
negativo em .
positivo em
negativo em
- Se
, então e requeremos , ou seja
- Se
, então e requeremos , ou seja
Excluímos
pois o denominador anula. Unindo tudo vem
Resposta
(a) Pelas divisões, as possíveis raízes racionais são
. As raízes efetivas em
são
(além de duas complexas
).
(b) A fatoração em é
(b) A fatoração em
(c) O domínio de
é