Questão 1 [2,5]

Considere o polinômio p(x)=2 x^{4}+5 x^{3}+3 x^{2}+x-2, x \in \mathbb{R} e a função real g(x)=\sqrt{\frac{p(x)}{|x|-1}}

Q1(a)

Responda quais são as possíveis raízes racionais de p(x). Encontre as raízes de \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}). Mostre como encontrou as raízes, apresentando as contas que foram feitas para isso.

Q1(b)

Fatore esse polinômio em \mathbb{R}, isto é, escreva p(x) como um produto de fatores lineares (tipo a x+b ) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo a x^{2}+b x+c, que não possui raízes reais). Justifique sua fatoração, apresente as contas que o levou à fatoração apresentada. Sem isso, o item não será considerado.

Q1(c)

Encontre o domínio da função g(x). Justifique deixando escritas as contas para chegar nas respostas! Responda o domínio na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=2x^{4}+5x^{3}+3x^{2}+x-2,
e pede em (a) as possíveis raízes racionais e as raízes efetivas de p(x); em (b) a fatoração de p(x) em \mathbb{R}; e em (c) o domínio da função
g(x)=\sqrt{\frac{p(x)}{\lvert x\rvert-1}}.
Para isso vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, divisões sintéticas e um estudo de sinal para o domínio de g.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais de p(x) são da forma
\pm\frac{\text{divisores de }2}{\text{divisores de }2} =\pm1,\;\pm2,\;\pm\frac12.
São essas as possíveis raízes a testar.

Passo 3

Testamos diretamente:
p(1)=2+5+3+1-2=9,\quad p(-1)=2-5+3-1-2=-3,
p(2)=32+40+12+2-2=84,\quad p(-2)=32-40+12-2-2=0,
p\Bigl(\tfrac12\Bigr) =2\Bigl(\tfrac1{16}\Bigr)+5\Bigl(\tfrac1{8}\Bigr)+3\Bigl(\tfrac1{4}\Bigr)+\tfrac12-2 =\tfrac14+\tfrac58+\tfrac34+\tfrac12-2=0.
Logo, as raízes racionais de fato são x=-2 e x=\tfrac12.

Passo 4

Fazendo divisão sintética de p(x) por (x+2) obtemos o quociente
2x^{3}+x^{2}+x-1.
Dividindo este por \bigl(x-\tfrac12\bigr) surge o quociente
2x^{2}+2x+2.
Assim
p(x)=(x+2)\Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\bigl(2x^{2}+2x+2\bigr).
Reagrupando 2\bigl(x-\tfrac12\bigr)=2x-1, temos a fatoração

Passo 5

p(x)=(x+2)(2x-1)(x^{2}+x+1).
Note que o discriminante de x^{2}+x+1 é \Delta=1-4<0, logo esse fator é irredutível em \mathbb{R}.

Passo 6

Para o domínio de
g(x)=\sqrt{\frac{p(x)}{\lvert x\rvert-1}}
precisamos de \lvert x\rvert\neq1 e
\frac{p(x)}{\lvert x\rvert-1}\ge0.
Como p(x)=(x+2)(2x-1)(x^{2}+x+1) e x^{2}+x+1>0 sempre, o sinal de p(x) é o mesmo de (x+2)(2x-1), que é
positivo em x\in(-\infty,-2]\cup[{\tfrac12},\infty) e
negativo em x\in(-2,\tfrac12).
  1. Se \lvert x\rvert>1, então \lvert x\rvert-1>0 e requeremos p(x)\ge0, ou seja
x\in(-\infty,-2]\cup(\,1,\infty).
  1. Se \lvert x\rvert<1, então \lvert x\rvert-1<0 e requeremos p(x)\le0, ou seja
x\in(-1,\tfrac12].
Excluímos x=\pm1 pois o denominador anula. Unindo tudo vem
\Dom(g)=(-\infty,-2]\;\cup\;(-1,\tfrac12]\;\cup\;(1,\infty).

Resposta

(a) Pelas divisões, as possíveis raízes racionais são \pm1,\pm2,\pm\tfrac12. As raízes efetivas em \mathbb{R} são
x=-2,\quad x=\tfrac12
(além de duas complexas \tfrac{-1\pm i\sqrt3}2).
(b) A fatoração em \mathbb{R} é
p(x)=(x+2)(2x-1)(x^{2}+x+1).
(c) O domínio de g é
(-\infty,-2]\;\cup\;(-1,\tfrac12]\;\cup\;(1,\infty).

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