Calcule o volume do conjunto V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1 \mathrm{e} 0 \leq z \leq 1-x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1,\;0\le z\le1-x^2\}.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla: vamos projetar a região no plano xy, expressar o volume como integral dupla e avaliá-la.

Passo 2

A projeção de V no plano xy é o triângulo
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\}.

Passo 3

Usando a definição de volume por integral tripla e integrando em z primeiro, temos
V = \iiint_{V} dV = \iint_{D}\Bigl(\int_{0}^{1-x^2} dz\Bigr)\,dA = \iint_{D} (1 - x^2)\,dA.

Passo 4

Escolhendo ordem dA = dy\,dx, calculamos a integral em y:
\int_{0}^{1-x} (1 - x^2)\,dy = (1-x)\,(1 - x^2).
Logo
V = \int_{0}^{1} (1-x)\,(1 - x^2)\,dx.

Passo 5

Expandindo e integrando termo a termo,
(1-x)(1-x^2) = 1 - x - x^2 + x^3,
então
V = \int_{0}^{1} (1 - x - x^2 + x^3)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac12 - \tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

Exercícios relacionados