Ache f(x), se:
f(x^2-x^3)=2 x^4-x^3a-4 x^5+2 x^6+x^2a

Passo 1

A questão pede uma função f tal que, ao substituir x^2 - x^3 em f, obtenhamos
fl(x^2 - x^3r) =2 x^4-x^3a-4 x^5+2 x^6+x^2a
O conteúdo é composição de polinômios: vamos identificar qual polinômio f satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Defina u = x^2 - x^3. Como o lado direito tem termos até x^6, o mais natural é supor que f seja um polinômio de grau 2 em u, sem termo constante (pois não há termo independente em x no lado direito). Logo, escrevemos
f(u) = A,u^2 + B,u

Passo 3

Calcule u^2 em termos de x:
u^2 = (x^2 - x^3)^2 = x^4 - 2x^5 + x^6
Portanto
f(u) = A,(x^4 - 2x^5 + x^6) + B,(x^2 - x^3)

Passo 4

Expanda e organize por potências de x:
f(u) = A,x^6 - 2A,x^5 + A,x^4 + B,x^2 - B,x^3
Comparando com
2 x^6 -4 x^5 +2 x^4 -x^3a + x^2a,
temos o sistema para os coeficientes:
A = 2, -2A = -4(confirma A=2), A = 2(confirma), -B = -tfrac1a;Rightarrow;B=tfrac1a, B = tfrac1a;;(confirma)

Passo 5

Concluímos que
f(u) = 2,u^2 + 1a,u
Como u era apenas o nome do argumento, a função buscada é
boxedf(x) = 2,x^2 + 1a,x

Resposta

f(x) = 2x^2 + xa

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