Ache f(x), se:
f(e^x^2-1)=e^2 x^2-4e+7 e^-1e^-x^2+2

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia
Estamos buscando uma expressão para f(x) sabendo que existe a relação
fl(e^x^2-1r) =e^2x^2-4e +7,e^-1e^-x^2+2
O conteúdo principal é usar substituição para escrever o lado direito em função de uma nova variável
t=e^x^2-1,
e então identificar f(t).

Passo 2

Simplificação termo a termo do lado direito
Primeiro termo:
e^2x^2-4e =e^2x^2-4-1 =e^2x^2-5
Segundo termo:
7,e^-1e^-x^2+2 =7,e^-1-(-x^2+2) =7,e^-1+x^2-2 =7,e^x^2-3
Logo
fl(e^x^2-1r) =e^2x^2-5+7,e^x^2-3

Passo 3

Expressão em função de t=e^x^2-1
Como t=e^x^2-1, temos
x^2-1=ln t Longrightarrow x^2=ln t+1
Então
2x^2-5 =2(ln t+1)-5 =2ln t-3,
x^2-3 =(ln t+1)-3 =ln t-2
Substituindo,
f(t) =e^2ln t-3+7,e^ln t-2

Passo 4

Reescrevendo as potências de t
Usando e^2ln t=(e^ln t)^2=t^2 e e^ln t=t,
f(t) =t^2e^-3+7,t,e^-2

Passo 5

Conclusão: forma geral de f(x)
Basta trocar t por x para obter a função procurada:
boxedf(x)=e^-3,x^2+7,e^-2,x

Resposta

f(x)=e^-3,x^2+7,e^-2,x

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