Ache f^prime(1), se f(x)=x+(x-1) arcsin raizx1+x.

Passo 1

O enunciado pede para achar f'(1) onde
f(x)=x+(x-1),arcsin!gl(raizx1+xgr)
O que vamos usar: regra do produto para (x-1)cdotarcsin(cdots) e regra da cadeia para derivar arcsin e raizcdot.

Passo 2

Defina
h(x)=raizx1+x
Primeiro calculemos h'(x). Seja u(x)=x1+x. Então
u'(x)=(1+x)-x(1+x)^2=1(1+x)^2,
e como h(x)=u(x)^1/2 vale
h'(x)=12,u(x)^-1/2,u'(x) =12raiz1+xx;1(1+x)^2 =12raizx,(1+x)^3/2

Passo 3

Agora defina
g(x)=arcsinl(h(x)r)
A derivada de arcsin é 1/raiz1-w^2 aplicada a w=h(x). Logo
g'(x)=h'(x)raiz1-h(x)^2
Mas
1-h(x)^2 =1-x1+x =11+x,
logo raiz1-h(x)^2=1/raiz1+x. Substituindo em g'(x):
g'(x) =raiz1+x;12raizx,(1+x)^3/2 =12raizx,(1+x)

Passo 4

Temos f(x)=x+(x-1),g(x). Pela regra do produto,
f'(x)=1 + g(x) + (x-1),g'(x)
Ao avaliar em x=1, o termo (x-1),g'(x) some, ficando
f'(1)=1+g(1)
E
g(1)=arcsin!l(raiztfrac12r) =arcsinl(tfrac1raiz2r) =pi4

Resposta

f'(1)=1+pi4

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