Resolva os problemas de valor inicial
l(e^-y+1) sen x d x=(1+cos x) d y y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
l(e^-y+1r),sin x,dx = l(1+cos xr),dy,
com y(0)=0. O conteúdo é separação de variáveis: vamos isolar os termos em x de um lado e em y de outro.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por l(1+cos xr)l(e^-y+1r), obtemos a forma separável
sin x1+cos x,dx ;=;dy1+e^-y

Passo 3

Calculemos a integral em x:
se u = 1+cos x então du = -sin x,dx, logo
integral sin x1+cos x,dx = -integral duu = -lnl|ur| + C = -lnl(1+cos xr) + C

Passo 4

Agora a integral em y:
integral dy1+e^-y = integral e^ye^y+1,dy
Com v=e^y+1 temos dv=e^y,dy, então
integral e^ye^y+1,dy = integral dvv = lnl(e^y+1r) + C

Passo 5

Igualando as primitivas:
-lnl(1+cos xr) = lnl(e^y+1r) + C
Aplicando y(0)=0: para x=0 e y=0 temos -ln2 = ln2 + C, ou seja C = -2ln2. Portanto
-lnl(1+cos xr) = lnl(e^y+1r) - 2ln2 ;Longrightarrow; lnl[(e^y+1)(1+cos x)r] = ln4

Passo 6

Da identidade (e^y+1)(1+cos x)=4 isolamos y:
e^y +1 = 41+cos x Longrightarrow e^y = 41+cos x -1 = 3-cos x1+cos x
e assim
y = ln!gl(3-cos x1+cos xgr)

Resposta

y(x) = ln!gl(3-cos x1+cos xgr)

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