Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
com
y(0)=0 . O conteúdo é separação de variáveis: vamos isolar os termos em
x de um lado e em
y de outro.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
l(1+cos xr)l(e^-y+1r) , obtemos a forma separável
Passo 3
Calculemos a integral em
x :
seu = 1+cos x então
du = -sin x,dx , logo
se
Passo 4
Agora a integral em
y :
Com
v=e^y+1 temos
dv=e^y,dy , então
Passo 5
Igualando as primitivas:
Aplicando
y(0)=0 : para
x=0 e
y=0 temos
-ln2 = ln2 + C , ou seja
C = -2ln2 . Portanto
Passo 6
Da identidade
(e^y+1)(1+cos x)=4 isolamos
y :
e assim