Ache as derivadas das funções;
f(x)=1+x-x^21-x+x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1 + x - x^21 - x + x^2
Como é uma função quociente, vamos usar a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+x - x^2, v(x)=1 - x + x^2
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=ddx(1+x - x^2)=1 - 2x, v'(x)=ddx(1 - x + x^2)=-1 + 2x

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 4

Vamos formar o numerador pela expansão de cada termo:
u'(x),v(x)=(1-2x)(1 - x + x^2) =1-3x+3x^2-2x^3,
u(x),v'(x)=(1+x - x^2)(-1+2x) =-1 + x +3x^2-2x^3
Logo o numerador é
(1-3x+3x^2-2x^3) - (-1 + x +3x^2-2x^3) =2 - 4x

Passo 5

O denominador é
l(v(x)r)^2=(1 - x + x^2)^2,
e o numerador simplificado é 2 - 4x.

Resposta

f'(x)=2 - 4xl(1 - x + x^2r)^2

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