Ache f^prime(2), se f(x)=x^2 sin (x-2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular fʹ(2) da função f(x)=x²·sin(x−2). O conteúdo envolvido é derivação de produto e regra da cadeia, já que temos x² multiplicado por sin(x−2).

Passo 2

Usamos a regra do produto: se f(x)=u(x)·v(x), então fʹ(x)=uʹ(x)v(x)+u(x)vʹ(x). Aqui u(x)=x² e v(x)=sin(x−2). Então uʹ(x)=2x e, pela regra da cadeia, vʹ(x)=cos(x−2)·1. Logo:
fʹ(x)=2x·sin(x−2)+x²·cos(x−2)²

Passo 3

Agora avaliamos em x=2. Temos sin(2−2)=sin(0)=0 e cos(2−2)=cos(0)=1. Substituindo em fʹ(x):
fʹ(2)=2·2·0+2²·1=0+4=4²

Resposta

4

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