Ache A^{2020} se A é uma matriz tal que A=P D P^{-1} onde
P=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right), \quad P^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right) .
(valor: 1 ponto)

Passo 1

O enunciado diz que
A = P\,D\,P^{-1}
é uma diagonalização de A. O conteúdo é que, para qualquer inteiro n\ge1, vale
A^n = P\,D^n\,P^{-1}.
Vamos usar esse fato para n=2020.

Passo 2

Calculamos
D^{2020} = \begin{pmatrix} 0^{2020} & 0 & 0\\\\ 0 & 1^{2020} & 0\\\\ 0 & 0 & (-1)^{2020} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para montar A^{2020}=P\,D^{2020}\,P^{-1}, primeiro calculamos
M = D^{2020}\,P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora multiplicamos P por M:
P\,M =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esse é exatamente A^{2020}.

Resposta

A^{2020} =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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