Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -4 & 4 \end{array}\right)
(a) Calcule o polinômio característico \varphi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I) da matriz A. (valor: 1,5 ponto)
(b) Determine quais dos seguintes números são autovalores de A: 2,-1,3,1. Justifique a sua resposta. (valor: 1 ponto)

Passo 1

Na questão temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}
e precisamos (a) calcular o polinômio característico \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I) e (b) decidir, entre os números 2,-1,3,1, quais satisfazem \varphi(\lambda)=0. Para isso vamos usar expansão de determinante e fatoração do polinômio.

Passo 2

Escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 2 & -4 & 4-\lambda \end{pmatrix}
e definimos
\varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I)\,.

Passo 3

Expandindo pela primeira linha:
\varphi(\lambda) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\\ -4&4-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4-\lambda\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}1&-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix}.
Calculamos cada menor
\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\\ -4&4-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-4\lambda+4, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4-\lambda\end{pmatrix} =2-\lambda,
\det\begin{pmatrix}1&-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix} =2\lambda-4.
Substituindo e somando termos obtemos
\varphi(\lambda) =-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4.

Passo 4

Para encontrar as raízes fatoramos
-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4 = -\bigl(\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4\bigr).
Testando \lambda=1 vemos que \lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=0. Dividindo sinteticamente por \lambda-1 fica
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4 =(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4) =(\lambda-1)(\lambda-2)^2.
Logo
\varphi(\lambda) =-(\lambda-1)(\lambda-2)^2.

Passo 5

As soluções de \varphi(\lambda)=0 são \lambda=1 (simples) e \lambda=2 (dupla). Entre os números dados, apenas \lambda=2 e \lambda=1 anulam \varphi(\lambda). Nem -1 nem 3 são raízes do polinômio.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\bigl(\lambda-1\bigr)\bigl(\lambda-2\bigr)^{2}.
(b) Os autovalores de A são \lambda=1 e \lambda=2. Nem -1 nem 3 satisfazem \varphi(\lambda)=0.

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