(a) Calcule o polinômio característico \varphi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I) da matriz A. (valor: 1,5 ponto)
(b) Determine quais dos seguintes números são autovalores de A: 2,-1,3,1. Justifique a sua resposta. (valor: 1 ponto)
e precisamos (a) calcular o polinômio característico \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I) e (b) decidir, entre os números 2,-1,3,1, quais satisfazem \varphi(\lambda)=0. Para isso vamos usar expansão de determinante e fatoração do polinômio.
As soluções de \varphi(\lambda)=0 são \lambda=1 (simples) e \lambda=2 (dupla). Entre os números dados, apenas \lambda=2 e \lambda=1 anulam \varphi(\lambda). Nem -1 nem 3 são raízes do polinômio.
Resposta
(a) \displaystyle \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\bigl(\lambda-1\bigr)\bigl(\lambda-2\bigr)^{2}.
(b) Os autovalores de A são \lambda=1 e \lambda=2. Nem -1 nem 3 satisfazem \varphi(\lambda)=0.