Determine a projeção ortogonal do vetor \vec{w} sobre o vetor \vec{v} nos casos:
\vec{w}=(2,-1,1), \vec{v}=(-1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \vec w sobre \vec v. O conteúdo usado aqui é projeção de vetores em \mathbb R^3, que se faz usando produto escalar e norma ao quadrado. A fórmula é
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec w = \frac{\vec w\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2}\,\vec v.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec w\cdot\vec v:
\vec w\cdot\vec v = 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot 1 = -2 + 1 + 1 = 0.

Passo 3

Calcular o quadrado da norma de \vec v:
\|\vec v\|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 4

Aplicar a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec w = \frac{0}{3}\,\vec v = 0\cdot(-1,-1,1) = (0,0,0).

Resposta

(0,0,0)

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