Seja
A=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 1 & -1 \\\\ 2 & 5 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right)
(a) Sabendo que A possui dois autovalores \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=5, ache para cada autovalor \lambda_{i} uma base do subespaço de autovetores associados a \lambda_{i}(i=1,2). (valor: 2 pontos)
(b) Ache uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D=P^{-1} A P. (valor: 1 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ 2 & 5 & -2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e informa que ela tem dois autovalores \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=5. Precisamos (a) achar bases dos subespaços de autovetores para cada \lambda_{i} solucionando (A-\lambda_{i}I)v=0 e (b) montar a diagonalização D = P^{-1}AP.

Passo 2

Para \lambda_{1}=3 calculamos
A - 3I = \begin{pmatrix} 4-3 & 1 & -1\\\\ 2 & 5-3 & -2\\\\ 1 & 1 & 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 2 & -2\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
O sistema (A-3I)v=0 é equivalente a
x + y - z = 0.
Logo z = x+y e um vetor genérico é
v = (x,y,x+y) = x\,(1,0,1) + y\,(0,1,1).
Uma base do autovalorespaço de \lambda_{1}=3 é
\{(1,0,1),\;(0,1,1)\}.

Passo 3

Para \lambda_{2}=5\) temos \[A - 5I = \begin{pmatrix} 4-5 & 1 & -1\\\\ 2 & 5-5 & -2\\\\ 1 & 1 & 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
O sistema (A-5I)v=0 produz as equações
\begin{cases} -x + y - z = 0,\\\\ 2x - 2z = 0,\\\ x + y - 3z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=z\]. Substituindo na primeira dá \(y = x+z = 2x e a terceira se confirma. Então
v = (x,2x,x) = x\,(1,2,1).
Uma base do autovalorespaço de \lambda_{2}=5 é
\{(1,2,1)\}.

Passo 4

Como encontramos três autovetores independentes podemos diagonalizar A. Seja
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
cujas colunas são os vetores (1,0,1), (0,1,1) (para \lambda=3) e (1,2,1) (para \lambda=5). Então
D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

A base de autovetores para \lambda_{1}=3 é
\{(1,0,1),\;(0,1,1)\},
para \lambda_{2}=5 é
\{(1,2,1)\},
e uma diagonalização é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},
tal que D = P^{-1}AP.

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