Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 \times 2 com base \beta=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}
Se T: V \rightarrow \mathbf{R}^{2} é dada por T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=(a+d, b+c),
a) Ache l T \beta_{\alpha}^{\beta} onde \alpha é a base canônica de \mathbf{R}^{2}.
Se S: \mathbf{R}^{2} \rightarrow V e \left\lvert\, S_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ 1 & -1 \\\\ -1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right.
b) Ache S e, se for possivel, (a, b) tal que S(a, b)=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das matrizes 2\times2 com base
\beta = \Bigl\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\Bigr\}
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
A transformação linear T\colon V\to\mathbb R^2 é dada por
T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=(\,a+d,\;b+c\,),
e queremos a matriz de T na base \beta do domínio e na base canônica \alpha de \mathbb R^2.
Depois, em (b), temos S\colon\mathbb R^2\to V cujo matriz em relação a \alpha (domínio) e \beta (imagem) é
S_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & -1\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
e precisamos escrever a fórmula de S e ver se existe (a,b) em \mathbb R^2 tal que
\displaystyle S(a,b)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 2

Para achar a matriz de T, aplico T a cada vetor da base \beta e expresso o resultado em coordenadas da base canônica de \mathbb R^2:
T(E_{11})=T\!\bigl(\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\bigr)=(1+0,0+0)=(1,0),
T(E_{12})=(0+0,1+0)=(0,1),
T(E_{21})=(0+0,0+1)=(0,1),
T(E_{22})=(0+1,0+0)=(1,0).
Esses vetores são as colunas da matriz de T.

Passo 3

Montando a matriz de T com respectivo a \beta no domínio e \alpha na imagem, temos
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para S, ao vetor (a,b)\in\mathbb R^2 corresponde o vetor de coordenadas em \beta dado por
\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & -1\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a+b\a-b\\\ -a\b\end{pmatrix}.
Isso significa
S(a,b) = (2a+b)\,E_{11} \;+\;(a-b)\,E_{12}\;+\;(-a)\,E_{21}\;+\;b\,E_{22} =\begin{pmatrix}2a+b & a-b\\\\ -a & b\end{pmatrix}.

Passo 5

Para ter S(a,b)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, igualamos as entradas:
2a+b=1,\quad a-b=0,\quad -a=0,\quad b=1.
Da terceira equação vem a=0; da segunda, b= a=0; mas da quarta, b=1. Há contradição, logo não existe (a,b) que satisfaça S(a,b)=I.

Resposta

(a)
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
(b)
S(a,b)=\begin{pmatrix} 2a+b & a-b\\\\ -\,a & b \end{pmatrix},
e não existe (a,b)\in\mathbb R^2 tal que
S(a,b)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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